基于強擾動理論的蜂窩結構等效電磁模型研究

趙雨辰 萬國賓

（西北工業大學電子信息學院，陜西 西安710129）

引 言

吸波材料的多功能化是國內外研究的熱點之一，在軍事和民用領域都有十分重要的應用價值.與早期的吸波材料相比，兼具吸波性能和承載功能的新型輕質多功能吸波結構已經成為了吸波材料研究中的主要方向［1］.

蜂窩結構復合材料不僅能夠較大幅度地減少材料的使用量，而且具有優良的力學與電磁學性能.這些優點使得蜂窩結構復合材料在飛行器雷達隱身設計中占有重要的地位.然而蜂窩結構本身幾何結構的復雜性往往會降低雷達吸波材料多功能化設計的效率.相比于實物測試［2］和全波分析［3］，一種更為方便快捷的方法是將蜂窩結構等效為一定參數的平板模型［4］.這樣既不需要制作多個實物進行測試，又可以避免全波分析中復雜的理論推導和數學建模，對提高多功能復合吸波材料的設計效率具有重要的意義.

國內外許多學者都對蜂窩結構的等效電磁模型進行了深入的研究.趙伯琳［5］采用介質波導理論導出了蜂窩結構吸波材料的特征方程，并指出寬頻帶內蜂窩結構的等效電磁參數具有色散特性.Quievy等［6］同樣根據波導理論研究了填充有吸波泡沫的金屬蜂窩的吸波特性.Smith［7］通過使用時域有限差分法計算了蜂窩結構的反射系數，進而提取并分析了不同情況下等效電磁參數的變化趨勢.Johansson等［8］和張永杰等［9］使用有限元法得到了蜂窩結構的宏觀電磁參數，并指出Hashin-Shtrikman（HS）理論可以很好地描述蜂窩結構的等效電磁參數，而且HS上下界分別適用于不同的情況.賈寶富等［10］以及何燕飛等［11］將蜂窩孔簡化為橫截面為圓形的纖維，采用強擾動理論推導了蜂窩結構吸波材料等效電磁參數的表達式并研究了不同結構參數時的吸波性能.總體來說，現有研究一方面表明了蜂窩結構等效電磁參數具有色散特性，另一方面也給出了諸如HS上下界等方便使用的等效模型，但卻沒能將兩者結合起來，提出能在寬頻帶內描述蜂窩結構等效電磁參數色散特性的閉式數學表達式.

強擾動理論是一種解決該問題的可供選擇的方法.強擾動理論開始主要用來解決顆粒混合媒質的問題［12］，進而又被用來描述結構型吸波材料的等效電磁參數［10-11，13］.對比兩類研究可以發現，在描述結構型吸波材料的電磁參數時，以上文獻都是在長波長近似下，忽略了相關項的影響，從而得到了與頻率以及結構單元尺寸無關的等效電磁參數的閉式表達式，而在描述顆粒媒質的等效電磁參數時，考慮了相關項后，所得的表達式則能夠反映頻率以及顆粒尺寸的影響［14］.

本文旨在建立寬頻帶內蜂窩結構的等效模型.通過建立蜂窩結構的仿真模型，在雷達工作頻段2～18GHz的頻率范圍內采用傳輸反射法提取了蜂窩結構的等效電磁參數.其次對強擾動理論進行了簡要的推導，通過對強擾動理論中的相關項進行修正，建立了能夠描述蜂窩結構等效電磁參數色散特性的等效模型，并在不同情況下對等效模型的準確性進行了驗證，且當等效電磁參數的色散特性發生變化時，采用優化算法進一步修正了強擾動理論中的相關項部分.最后對全文進行了總結.

1 蜂窩結構等效電磁參數提取

圖1為蜂窩結構的示意圖，蜂窩孔為正六邊形，y方向的尺寸為r.單個蜂窩孔由骨架材料包圍芯體材料構成，骨架的厚度為w.虛線框所示為蜂窩結構仿真模型所采用的單元結構.通過仿真計算可以得到蜂窩結構的傳輸反射系數，即S11和S21參數.根據傳輸反射法，蜂窩結構的等效電磁參數可由S參數表示為［15］

圖1 蜂窩結構模型

式中：d是蜂窩材料厚度；k是自由空間波數；n和z分別是蜂窩材料的折射率和波阻抗.在寬頻帶內使用傳輸反射法時，需要處理算法中的多值性［16］.

在雷達工作頻段內高次模均為衰減模的條件下，取骨架材料的介電常數和磁導率分別為4和1，芯體材料的介電常數和磁導率分別為12-j1和3-j1，其中j為虛數單位，并保持兩種材料的占空比不變，即w＝0.1r，可得蜂窩結構等效介電常數隨頻率以及蜂窩孔尺寸r的變化趨勢，如圖2所示.

圖2 r不同時等效介電常數的色散特性

從圖2可知，蜂窩結構等效介電常數是具有色散特性的，并且其色散特性受到蜂窩孔尺寸的影響.等效磁導率具有相同的變化規律.由以上分析可以看出，蜂窩結構的等效模型應具備反映其等效電磁參數色散特性的能力，僅由各組分材料的電磁參數和占空比是不能夠在寬頻帶內準確描述蜂窩結構等效電磁參數的.

2 基于強擾動理論的等效模型

根據強擾動理論，若定義隨機媒質的等效本構張量為Ceq，則其表達式為［14］

式中：R是相關項；Cg是隨機媒質的靜態等效本構張量.Cg可以展開為

式中：εg和μg分別表示靜態介電常數張量和靜態磁導率張量；Ceq也可以展開成類似的形式.

當頻率為0時，即長波長極限條件下，不存在相關項的影響，則可得

上式表明，Cg代表了頻率為0時隨機媒質的等效本構張量.若假設混合媒質由N種成分組成，則其靜態等效本構矩陣可由下式表示為

此時強擾動理論退化為Bruggman理論，即強擾動理論的零階近似，也就是文獻［10］～［11］，［13］所采用的等效模型.式中εi、μi、vi、Li分別是混合媒質中第i種單質的介電常數張量、磁導率張量、占空比以及退極化張量.蜂窩孔可以等效為橫截面為圓形的一致取向的纖維材料，并且由于骨架材料與芯體材料的取向一致，兩者退極化張量相同.一致取向纖維的退極化張量L表示為

當不滿足長波長極限時，相關項的影響不能忽略，而相關項反映了等效介電常數εeq與頻率以及系統結構尺寸的關系［14］，因此在寬頻帶內建立蜂窩結構等效模型的關鍵是計算式（4）中的積分部分，即體現相關項R影響的部分.目前并沒有針對蜂窩結構等效模型中相關項部分的研究，因此，本文給出了其經驗公式.參考文獻［14］，寬頻帶內蜂窩結構的等效介電常數可以表示為：

式中：等效模型在長波長極限下取HS理論的預測值，記為εHSg；＊表示取共軛；g（kgai）是影響等效電磁參數色散特性的核心部分，是波數kg以及各組份材料尺寸a的函數，其一般表達式為

式中，A、B等為待定系數.骨架材料和芯體材料的尺寸 分別為w以及r-w.類似可得等效磁導率的表達式.

3 等效模型的驗證和修正

3.1 等效模型的驗證

在不同情況下對所建立的等效模型進行驗證.首先以圖2中r＝2mm，w＝0.2mm的蜂窩結構為例，骨架材料的介電常數和磁導率分別為4和1，芯體材料的介電常數和磁導率分別為12-j1和3-j1，屬于骨架材料電磁參數較小而芯體材料電磁參數較大的情況，經驗公式中B取0.25-j0.125，其余系數為零.等效模型的效果如圖3所示.

從圖中可以看出，所建立的寬頻帶內蜂窩結構等效模型能夠較為準確地描述其等效介電常數隨頻率的變化趨勢.進而保持骨架材料和芯體材料的電磁參數和占空比不變，對r＝1mm，w＝0.1mm和r＝4mm，w＝0.4mm的情況進行驗證，如圖4所示.

由圖4可知，當蜂窩孔尺寸較小時，等效模型能夠較為準確地預測蜂窩結構的等效介電常數，而當蜂窩孔尺寸較大時，在頻率較低的情況下，等效模型的準確性依然較高，但當頻率進一步增大時，等效介電常數隨頻率的變化趨勢較低頻時平緩，此時原等效模型已經不能準確預測蜂窩結構的等效介電常數，需要進一步對等效模型中的g（kgai）項進行修正.

圖5研究了骨架材料電磁參數較大的情況，其中蜂窩結構的單元尺寸分別取r＝2mm，w＝0.2mm和r＝4mm，w＝0.4mm，骨架材料的介電常數和磁導率分別為24-j1和3-j1，芯體材料的介電常數和磁導率分別為6-j0.2和1，經驗公式中B取0.4-j0.2，其余系數為零.

圖5顯示等效模型在蜂窩孔尺寸較小時能夠較為準確地預測蜂窩結構的等效介電常數，而當蜂窩孔尺寸較大但頻率較低的情況下，等效模型能夠較為準確地反映等效介電常數的色散特性，但當頻率進一步增大時，預測值與實驗值的偏差較大.

以上的幾個算例對應于蜂窩孔內填充吸波泡沫等材料的情況，而另一種具有實際價值的例子是蜂窩壁上涂覆一層吸收劑，其結構如圖6所示.

對于這種情況，計算時先使用式（9）計算由吸收層包圍空氣組成的較小的蜂窩結構的等效電磁參數，進而將所得到的等效電磁參數與骨架材料的電磁參數再代入式（9）即可得到整個結構的等效電磁參數［10-11］.分別取r＝2mm 和r＝4mm，并保持w＝0.1r，d＝0.3（r-w）不變，骨架材料和吸收材料的電磁參數與圖3實驗相同，經驗公式中B取0.5-j0.167，其余系數為零.等效模型的效果如圖7所示.從圖7中可以發現，等效模型對于涂覆型蜂窩結構是適用的，但當蜂窩孔尺寸較大且頻率較高的時候，等效模型同樣不能夠準確描述等效介電常數隨頻率的變化趨勢.

圖7 涂覆型蜂窩結構的等效模型驗證

3.2 相關項部分的修正

以上的驗證分析一方面說明強擾動理論是建立寬頻帶內蜂窩結構等效電磁模型的有效方法，另一方面也顯示現有相關項部分的經驗公式并不足以描述所有情況下蜂窩結構等效電磁參數的色散特性，特別是當蜂窩孔尺寸較大且頻率較高的時候.因此，本小節通過優化算法對相關項的修正進行了初步的討論.以圖4中r＝4mm的蜂窩結構為例，g（kgai）分別取式（10）中的前三項和第二項，記為g1（kgai）和g2（kgai）.在2～18GHz內選取一定數目的參考頻點，定義優化算法的適應度函數為這些參考點處等效模型預測值與實驗值之差的絕對值之和，進而通過運行優化算法即可得到相關項中的各個待定系數.

g1（kgai）和g2（kgai）的逼近效果如圖8所示.其中，優化算法以2GHz為起點，間隔1GHz選取一個參考點，共17個參考點.運行優化算法可得g1（kgai）的待定系數分別為-0.318 7-j0.476 1、1.602 5-j0.156 9、-0.312 2＋j0.008 7，g2（kgai）中的待定系數為0.631 8-j0.150 6.由圖8可知，當蜂窩孔尺寸較大時，g（kgai）取更多的項等效模型的逼近效果越好，說明此時所對應的相關項的表達式更為復雜.而蜂窩結構等效電磁模型中相關項部分更一般的閉式表達式還有待進一步研究.

圖8 g1和g2的逼近效果比較

4 結 論

本文基于強擾動理論，對寬頻帶內蜂窩結構的等效電磁模型進行了研究，得到以下結論：

1）強擾動理論是建立寬頻帶內蜂窩結構等效電磁模型的有效方法，其中的相關項是影響等效模型色散特性的核心部分；

2）當蜂窩孔尺寸較小或者蜂窩孔尺寸較大但頻率較低時，本文所建立的等效模型能夠較為準確地預測不同情況下蜂窩結構的等效電磁參數；

3）當蜂窩孔尺寸較大且頻率較高時，蜂窩結構等效電磁參數的色散特性會發生變化，需要進一步修正強擾動理論中的相關項部分.

［1］陳明繼，裴永茂，方岱寧.夾心型雷達吸波結構的多目標優化［J］.應用數學和力學，2010，31（3）：315-323.CHEN Mingji，PEI Yongmao，FANG Daining.Mulitobjective optimization design of radar absorbing sandwich structure［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2010，31（3）：315-323.（in Chinese）

［2］HE Y F，GONG R Z，CAO H，et al.Preparation and microwave absorption properties of metal magnetic micropowder-coated honeycomb sandwich structures［J］.Smart Mater Struct，2007，16（5）：1501-1505.

［3］GAO Z P，LUO Q.Reflection characteristics of impregnated absorbent honeycomb under normal incidence of plane wave［J］.J Electron Sci China，2003，32（4）：389-394.

［4］SMITH F C，SCARPA F，CHAMBERS B.The electromagnetic properties of re-entrant dielectric honeycombs［J］.IEEE Trans Microw Guided W，2000，10（11）：451-453.

［5］趙伯琳.蜂窩結構吸波材料等效電磁參數的計［J］.航空學報，1992，13（11）：662-669.ZHAO Bolin.The calculation of effective electromagnetic parameters of honeycomb radar absorbing structural materials［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1992，13（11）：662-669.（in Chinese）

［6］QUIEVY N，BOLLEN P，THOMASSIN J M，et al.Electromagnetic Absorption properties of carbon nanotube nanocomposite foam filling honeycomb waveguide structures［J］.Electromagn Compat，2012，54（1）：43-51.

［7］SMITH F C.Effective permittivity of dielectric honeycombs［J］.IEE Proc Microw Antennas Propag，1999，146（1）：55-59.

［8］JOHANSSON M，HOLLOWAY C L，KUESTER E F.Effective electromagnetic properties of honeycomb composites，and hollow-pyramidal and alternatingwedge absorbers［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2005，53（2）：728-736.

［9］張永杰，李江海，孫 秦.復合材料結構等效電磁參數均勻化方法［J］.電波科學學報，2009，24（2）：280-284.ZHANG Yongjie，LI Jianghai，SUN Qin.Homogenization method for effective electromagnetic properties of composites［J］.Chinese Journal of Radio Science，2009，24（2）：280-284.（in Chinese）

［10］賈寶富，劉述章，林為干.結構型吸波材料電磁參數的預測［J］.航空學報，1990，11（9）：480-486.JIA Baofu，LIU Shuzhang，Lin Weigan.The prediction of electromagnetic characteristics of structure absorbent materials［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，1990，11（9）：480-486.（in Chinese）

［11］何燕飛，龔榮洲，王 鮮，等.蜂窩結構吸波材料等效電磁參數和吸波特性研究［J］.物理學報，2008，57（8）：5261-5266.HE Yanfei，GONG Rongzhou，WANG Xian，et al.Study on equivalent electromagnetic parameters and absorbing properties of honeycomb-structured absorbing materials［J］.Acta Physica Sinica，2008，57（8）：5261-5266.（in Chinese）

［12］TSANG L T，KONG J A.Scattering of electromagnetic waves from random media with strong permittivity fluctuation［J］.Radio Sci，1981，16（3）：303-320.

［13］PENG Z H，CAO M S，YUAN J，et al.Strong fluctuation theory for effective electromagnetic parameters of fiber fabric radar absorbing materials［J］.Mater Design，2004，25（5）：379-384.

［14］賈寶富.強擾動隨機媒質的等效介電常數和等效磁導率［J］.電波科學學報，1990，5（2）：28-34.JIA Baofu.Effective Dielectric constant and permeability of strong fluctuation random medium［J］.Chinese Journal of Radio Science，1990，5（2）：28-34.（in Chinese）

［15］沈 靜，萬國賓，萬 偉，等.背腔雙負微帶天線的仿真與實驗研究［J］.電波科學學報，2008，23（4）：689-693.SHEN Jing，WAN Guobin，WAN Wei，etal.Simulation and experimental studies on cavity backed microstrip antennas with DNG substrates［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（4）：689-693.（in Chinese）

［16］胡振燕，周樂柱.一種提取介質結構等效電磁參量的改進方法［J］.北京大學學報：自然科學版，2011，47（3）：435-442.HU Zhenyan，ZHOU Lezhu.An improved effective electromagnetic parameters retrieval method［J］.Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekineneis，2011，47（3）：435-442.（in Chinese）