多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面

張 莉， 劉靜靜， 檀結慶,

（1. 合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學計算機學院，安徽 合肥 230009）

多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面

張 莉1， 劉靜靜1， 檀結慶1,2

（1. 合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業(yè)大學計算機學院，安徽 合肥 230009）

論文構造了一類帶多個形狀參數(shù)的指數(shù)均勻 B樣條曲線曲面，它保持了指數(shù)均勻B樣條曲線曲面的主要性質（如連續(xù)性、凸包性等）。此類曲線在不改變控制頂點的情況下，通過改變其形狀參數(shù)的取值，可以生成多條逼近于控制多邊形的曲線，進而實現(xiàn)對曲線的整體或局部調控。此外，它還可以精確表示雙曲線、懸鏈線等超越曲線。此類曲面是通過張量積的方法生成的，所以具有與曲線類似的性質。論文結尾給出了大量數(shù)值實例。

均勻B樣條；調配函數(shù)；指數(shù)多項式；形狀參數(shù)

均勻 B樣條曲線曲面是計算機輔助幾何設計(CAGD)中一個經(jīng)典的造型工具，它具有許多優(yōu)良的性質，在實際的工程中也得到了廣泛的應用。然而，均勻B樣條曲線曲面也存在不足，如給定控制頂點后，B樣條曲線曲面是唯一的，如果要調整曲線曲面的形狀和位置，必須改變曲線曲面的控制頂點。為了克服上述不足，Barsky[12]提出了三次樣條曲線，它具有凸包性、局部性、變差縮減性等B樣條的若干優(yōu)良性質，并且有2個可調形狀參數(shù)，達到 G2連續(xù)；吳曉勤[3]提出了帶形狀參數(shù)的Bézier曲線，具有形狀可調性。張紀文[4]提出了C-B樣條曲線，它可以精確表示圓和橢圓，但是，它們都不能精確表示雙曲線；王文濤[5-7]等分別提出了帶單形狀參數(shù)的均勻B樣條、三角均勻B樣條、雙曲均勻B樣條；趙顏利[8]等提出了單形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條。這些樣條曲線曲面除了具有不帶參數(shù)時的性能外，還可以對曲線曲面進行整體調整。為了進一步實現(xiàn)曲線曲面的局部調控，曹娟等[9]給出了帶形狀參數(shù)的均勻B樣條的結構；韓旭里[10]提出了帶形狀參數(shù)的三次非均勻樣條，擴展了形狀參數(shù)曲線曲面的應用；尹池江[11]、劉旭敏[12]、張莉[13]分別提出了帶多個參數(shù)的三角均勻B樣條、雙曲B樣條和均勻B樣條，它們除了具備不帶參數(shù)時的性能外，還可以對曲線曲面進行整體和局部調控。

本文通過積分的方法引入多個形狀參數(shù)，構造了一類n次帶多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面，通過改變形狀參數(shù)的取值來調整曲線（曲面）不同部分靠近控制多邊形（控制網(wǎng)格）的程度，進而實現(xiàn)整體或局部調控。文章構造的曲線不僅概括了文獻[8]的情形，而且可以精確表示雙曲線等重要曲線。此外，形狀參數(shù)的取值范圍隨著曲線階數(shù)的增大而增大。數(shù)值實驗表明：文章構造的曲線比已有的樣條曲線更能靠近控制多邊形。通過大量圖例證實，文章構造的曲線曲面在幾何造型和動畫設計中具有一定的實際應用價值。

1 基函數(shù)的構造及其性質

1.1 基函數(shù)的構造

稱式(1)為帶形狀參數(shù)α的一次（二階）指數(shù)多項式均勻 B樣條的調配函數(shù)（簡稱調配函數(shù)）[8]。

設 α1, α2∈ R ， t∈ [0,1]，分段積分有

定義1 稱式（2）為帶2個形狀參數(shù) α1, α2的二次（三階）指數(shù)多項式均勻B樣條調配函數(shù)。

當 k≥ 3時，依次定義 k次（ k+1階）帶 k個形狀參數(shù) αi( i = 1,2,… ,k)的指數(shù)多項式均勻 B樣條調配函數(shù)如下：

并分別平移 i- k, i - k + 1,… ,i - 1,i 個單位，則有

由式（4）可以看出樣條函數(shù)的每一段（除去第1段和最后1段）都有2個形狀參數(shù)。我們用 η, β代表這兩類形狀參數(shù)，其中η代表，β代表。為了使(t ;η, β) 非負，不妨取η, β ∈ [-1,1]。事實上，形狀參數(shù)η , β的范圍隨著階數(shù)的增加而增大。

圖1給出了三次（四階）帶多形狀參數(shù)指數(shù)多項式均勻B樣條基函數(shù)的圖形，圖1(a)是2個形狀參數(shù)相等情形，即文獻[8]的情況。圖中的形狀參數(shù)分別為η = β = 3,1,-1 0,-20，其中前2條基函數(shù)曲線圖為單峰，后兩條基函數(shù)曲線圖為雙峰。圖1(b)是2個形狀參數(shù)不同的情形，其中中間偏高的曲線段的參數(shù)為η = β =3，偏左邊的曲線段的參數(shù)為η =-1 5,β =3，偏右邊的曲線段的參數(shù)為η = 3， β=-1 5。可以觀察出：當參數(shù)相等時（就是單參數(shù)的情形），基函數(shù)對稱，當參數(shù)不等時，基函數(shù)圖形就不再對稱，2個參數(shù)既可以上下調節(jié)曲線的形狀，又可以左右調節(jié)曲線形狀，正是由于左右調節(jié)后的不對稱性，才可以局部調控曲線。

圖1 三次（四階）帶形狀參數(shù)的指數(shù)多項式均勻B樣條基

1.2 基函數(shù)的性質

將上面 2式分別在[x, 1]與[0,x]上積分，然后相加整理可得：所以， k = n+ 1時，，由歸納法原理可知結論成立。

表1 參數(shù)變化范圍

如圖2所示，帶形狀參數(shù)的三次指數(shù)曲線，帶形狀參數(shù)的一般均勻 B樣條和三角多項式均勻B樣條與其控制多邊形距離大小的比較。圖2中曲線1是指數(shù)均勻B樣條的情形，曲線2是三角多項式均勻B樣條情形，曲線3是一般均勻B樣條的情形?？梢钥闯霎?種B樣條的參數(shù)都取參數(shù)最大時，指數(shù)均勻B樣條曲線可以比均勻B樣條和三角B樣條曲線更接近于控制多邊形。

圖2 不同基生成曲線的比較

2 多形狀參數(shù)指數(shù)多項式均勻B樣條曲線曲面

與標準均勻B樣條曲線曲面類似，帶多形狀參數(shù)指數(shù)多項式均勻 B樣條基函數(shù)也可以構造出相應的曲線曲面。為了方便表達，我們設形狀參數(shù) αi∈[-1 ,1],(i = 1,2,… ,n)。

定義 3 給定空間 R2或 R3中控制頂點P0, P1,… ,Pn( n ≥ 2)，及形狀參數(shù)，不妨令αi∈[-1 ,1],(i = 1,2,… ,n)，構造曲線段

(0 ≤ t ≤ 1,i = 0,1,… ,n -k )。 然后將它們平移后復合所得曲線為：

稱式（6）為 k次帶多形狀參數(shù)的指數(shù)多項式均勻B樣條曲線的表達式，其中是（3）式定義的基函數(shù)。

此類曲線的性質：

性 質 1 （凸包性質）由式(6)定義的曲線p( t) 在 區(qū) 間 [i, i +1 ]內 的 一 段 曲 線pk( t)(i ≤ t ≤ i+1,i = 0,1,… ,n -k)恒位于由k+ 1個控制頂點的凸包之內，整條曲線恒位于這些凸包的并集之內。

性 質2 （幾何不變性質）由式(6)定義的曲線形狀不因坐標系的選取而改變。

性 質 3 （局部支承性質）當曲線的一個控制頂點改動時，曲線 p( t)僅有 k+1個子段曲線的形狀發(fā)生改變，其余部分不變。而當其中某1個形狀參數(shù)改變時，僅影響到與之相關的k個子曲線段。

性 質4 （連續(xù)性質和求導公式）含多形狀參數(shù)的 k次指數(shù)多項式均勻 B 樣條曲線，且有

定 義 4 給定空間 R3中的(m + 1)× (n +1)個點，張量積多形狀參數(shù)的指數(shù)多項式均勻B樣條曲面可如下定義：

張量積曲面保持了曲線的主要性質：凸包性、幾何不變性、局部支承性等。曲面的導數(shù)公式為：

其中：

3 形狀參數(shù)對曲線曲面的調控

3.1 形狀參數(shù)對曲線的調控

我們可以根據(jù)表1選取形狀參數(shù)。圖3(a)是當形狀參數(shù) α1= α2= α3= α的情況，即單參數(shù)時的圖形。曲線1，2，3所對應的形狀參數(shù)分別取α= 3,1,- 10。此時，形狀參數(shù)對曲線僅有整體調控作用。圖3(b-d)所示的曲線為形狀參數(shù)互不相等的情形。圖3(b)中的曲線段1，2，3，4的形狀參數(shù)分別為 αi= {3,3,3}， αi= {- 10,- 10,3}，αi= {3,- 10,- 10}， αi={- 10,- 10,- 10}?？梢杂^察到，曲線段4的某一端形狀參數(shù) α1或 α3增大時，曲線段將逼近控制點 P1或 P2；圖3(c)中的曲線段1, 2, 3的形狀參數(shù)分別為 αi= {3,3,3}，αi={-1 0,3,-1 0}， αi={- 10,- 10,- 10}，曲線3中間形狀參數(shù) α2增大時，曲線段兩端將同時向兩側擴張；圖3(d)中的曲線段1，2，3，4的形狀參數(shù)分 別 為 αi= {3,3,3}， αi= { -10,3,3}，αi= {3,3,- 10}， αi={- 10,- 10,- 10}，曲線段4的某一端相鄰的2個形狀參數(shù) α1, α2或 α2,α3同時增大時，曲線段將逼近相應一側的控制頂點，另一側則向外擴張。

3.2 形狀參數(shù)對曲面的調控

由式（7）知，曲面是曲線張量積生成的，所以曲面也可作相應調控，下面以雙二次帶多形狀參數(shù)的指數(shù)B樣條曲面為例，簡單說明曲面的調控。圖 4控制網(wǎng)格不變時，改變參數(shù){α1,α2,β1, β2}的值得到不同的雙二次多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲面片，我們可以既整體又局部地對曲面片進行調控。

圖3 帶3個形狀參數(shù)的三次指數(shù)多項式均勻B樣條曲線段

圖4 雙二次多形狀參數(shù)指數(shù)多項式均勻B樣條曲面片

3.3 形狀參數(shù)的幾何意義

由式（4）及形狀參數(shù)對曲線曲面的調控效果，我們不難得出形狀參數(shù)的幾何意義。關于全局形狀參數(shù)，增大形狀參數(shù)會使曲線（曲面）更加靠近控制頂點（控制網(wǎng)格），反之遠離。關于調整局部形狀參數(shù)，對于曲面的形狀參數(shù)iα增大時，曲線會逼近于與第i個控制頂點iP相連接的控制多邊形，反之遠離。對于曲面，形狀參數(shù)iα增大時，曲面片逼近于與相連的控制網(wǎng)格，反之遠離。

4 曲線的應用

定理1 給定平面上不共線的3點 P2( x2, y2), P1( x1, y1),P0( x0, y0)，令形狀參數(shù) α1= α2= 0或α1= α2=-1，則三階帶多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線為雙曲線的一部分。

證 明 ： 當 α1= α2= 0時 取 控 制 頂 點

得

圖5 雙曲線

5 圖形實例

下面是2種參數(shù)模型的比較。圖6(a)和圖6(b)是開曲線花瓣模型。圖 6(a)中曲線的參數(shù)αi= 3,0,- 3,- 10,-2 0，圖 6(b)中曲線參數(shù)α1= 2,αi=-1 0（, i ≠1），α3=-5 ,αi=-1 0（, i≠3）和αi= 3。圖 6(c)和圖 6(d)為四葉草模型，是閉曲線模型。圖6(c)的參數(shù)為 αi= 3,0,-3 ,-1 0,-2 0。圖6(d)的參數(shù)為 α3=-2 0, αi= 3（, i≠4）。通過圖形實例可以看出：對圖形進行單參數(shù)調控時，無論參數(shù)取何值，都不能覆蓋住多參數(shù)時的圖形。反之，多參數(shù)調控時，只要取相同參數(shù)便可得到單參數(shù)的圖形。故多參數(shù)的引入使曲線形狀更豐富，多參數(shù)還可應用于動畫設計，得到更加豐富多樣的造型。

圖6 單參數(shù)模型和多參數(shù)模型的比較

圖7所示為帶多形狀參數(shù)的指數(shù)多項式均勻B樣條曲線構造的花瓶模型。 圖7(a)中花瓶所對應的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,…6 )。圖7(b)中花瓶的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,4,5,6)，α3=-1 0，此時花瓶只有一部分發(fā)生改變。圖7(c)中花瓶的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,5,6)， α3=-1 0,α4=- 20，此時花瓶相鄰的兩部分發(fā)生改變。圖7(d)中花瓶的形狀參數(shù)取 αi= 3(i = 1,2,4,5)， α3=- 10，α6=- 20此時曲線發(fā)生改變的部分互不相交。顯然，多形狀參數(shù)實現(xiàn)了局部調控曲線，得到了更多樣的曲面造型。

圖7 花瓶模型

6 結 束 語

文章采用分段積分的方法，構造了多形狀參數(shù)指數(shù)多項式均勻 B樣條基函數(shù)和多形狀參數(shù)的指數(shù)均勻B樣條曲線曲面。一方面，它擴展了指數(shù)多項式均勻 B樣條基函數(shù)的形式；另一方面，在保持原有性質的基礎上，實現(xiàn)了對曲線曲面的整體與局部調控。當然，文章構造的曲線還存在要改進的地方，例如，與文獻[13]的曲線相比較，文獻[13]的代數(shù)多項式被指數(shù)多項式所替代，這樣，現(xiàn)有的一些比較成熟的算法（如de Boor算法）就不能使用了。但是，本文提出的曲線也有自己的優(yōu)點：同文獻[11]和文獻[13]相比，參數(shù)范圍更廣，可以更接近或遠離控制多邊形。又由于指數(shù)均勻B樣條是定義在 Ωk上，且 Ωk對積分運算是封閉的，即對任意的 Nt∈Ωk有 ∫Ntdt=1，為相關的積分運算帶來方便。此外，文章中的曲線可以精確表示雙曲線、旋鏈線等超越曲線。通過最后的圖形實例可以看出，由于曲線形狀隨著參數(shù)的改變而改變，可將其用于曲線曲面造型和動畫設計。尺有所短，寸有所長，現(xiàn)有的曲線曲面都有著各自的優(yōu)缺點，只能通過取長補短來彌補各自的不足。我們的目標是在以后的工作中構造出更多具有優(yōu)良性質的曲線曲面。

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Exponential Uniform B-Spline Curves and Surfaces with Multiple Shape Parameters

Zhang Li1, Liu Jingjing1, Tan Jieqing1,2
( 1. College of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China; 2. College of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

A class of exponential uniform B-spline curves and surfaces with multiple shape parameters is provided. They preserve the main properties of the exponential uniform B-spline curves and surfaces, such as positive property, convexity-preserving property and so on. The curves can be adjusted by changing the values of shape parameters without moving their control points. So we can realize the entire or local adjustment of the curves. What’s more, the exponential uniform B-spline curves can represent hyperbola, catenary and other transcendental curves precisely. The corresponding surfaces can be constructed by using tensor product, so their properties are similar to that of the curves. Plenty of numerical tests are given to show the effectiveness of our method.

uniform B-spline; Blending function; exponential polynomial; shape parameters

TP 391.72

A

2095-302X (2013)03-0029-07

2012-07-15；定稿日期：2012-11-01

國家自然科學基金資助項目（U1135003,61100126）；教育部博士點基金資助項目（20100111120023, 20110111120026）；安徽省自然科學基金資助項目（11040606Q42）；安徽省高等學校省級優(yōu)秀青年人才基金資助項目（2011SQRL184）

張 莉（1976-），女，安徽合肥人，副教授，博士，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：hgdzli@126.com