基于Lupas q-模擬Bernstein算子的廣義Bézier曲線

韓力文， 楚 瑛， 李 丁， 劉 鳳

（1. 河北師范大學數學與信息科學學院，河北 石家莊 050024；2. 河北省計算數學與應用重點實驗室，河北 石家莊 050024）

基于Lupas q-模擬Bernstein算子的廣義Bézier曲線

韓力文1,2， 楚 瑛1， 李 丁1， 劉 鳳1

（1. 河北師范大學數學與信息科學學院，河北 石家莊 050024；2. 河北省計算數學與應用重點實驗室，河北 石家莊 050024）

提出了一種全新的廣義Bézier曲線。首先，從Lupas q-模擬Bernstein算子出發，得到了一組有理函數，該函數帶有一個形狀參數，是經典Bernstein基函數的自然推廣。然后，構造了相應的廣義Bézier曲線，本文稱之為Lupas q-Bézier曲線，并研究了其基本性質。Lupas q-Bézier曲線具有與經典Bézier曲線相類似的升階公式和de Casteljau算法。

計算機輔助幾何設計；Lupas q-模擬Bernstein算子；Lupas q-Bézier曲線；升階公式；de Casteljau算法

經典的Bernstein算子具有很好的逼近性、收斂性和保形性，是逼近論中最重要的算子之一，被廣泛應用于分析、幾何和計算機等領域。近年來，隨著q-微積分的發展，一類基于q-整數的廣義Bernstein算子得到迅速發展。1987年，Lupas首次提出包含q-整數的廣義Bernstein算子，即Lupas q-模擬Bernstein算子[1]。1996年Phillips提出的q-Bernstein算子[2]是目前研究比較廣泛的廣義Bernstein算子。

1972年，Bézier[3]采用經典的Bernstein基函數構造了Bézier曲線，為自由型曲線曲面的發展奠定了堅實的基礎。隨著廣義Bernstein算子的產生，經典 Bézier曲線也得到進一步推廣。2003年，Oruc和Phillips利用q-Bernstein算子的基函數構造了q-Bézier曲線[4]。Disibuyuk等人分別于2007年和2008年定義了有理q-Bézier曲線[5]及張量積型的q-Bézier曲面[6]。近幾年，國內學者也研究并構造了含形狀參數的廣義 Bézier曲線曲面[7-8]。Simeonov等人更深入地為兩類廣義Bézier曲線建立了相應的開花形式和細分過程[9-10]。

相比而言，Lupas q-模擬 Bernstein算子在CAGD中的研究較少。對該算子的研究工作主要集中于逼近論方面。1987年，Lupas研究了Lupas q-模擬Bernstein 算子的逼近性和保形性[1]。2006年，Ostrovska討論了該算子的一致收斂性[11]。Phillips于2010年指出Lupas q-模擬Bernstein 算子還沒有任何應用性研究[12]。

首先，介紹Lupas q-模擬Bernstein 算子的表示形式，并從中提取出Lupas q-模擬Bernstein有理函數，進而構造了Lupas q-Bézier曲線。Lupas q-Bézier曲線具有仿射不變性、凸包性、變差縮減性、保凸性等。特別是，Lupas q-Bézier曲線的變差縮減性、升階性和Lupas q-de Casteljau算法為Lupas q-模擬Bernstein算子在CAGD中的應用奠定了基礎。

1 Lupas q-模擬Bernstein算子

為了介紹Lupas q-模擬Bernstein算子，首先引入以下記號和定義：

定義1.1[13]對于給定的實數 0q＞ ，及任意i N∈ ，定義q-整數[i]如下：

事實上，對于給定實數 0q＞ 且 1q≠ ，q -整數是關于q的有理函數，而當 1q= 時，q -整數為通常意義下的非負整數。

定義1.2[13]對于給定的實數 0q＞ ，及任意i ∈ N，定義q -階乘[i] !如下：

定義1.3[13]對于給定的實數 q＞ 0，及任意整數 n ≥ i≥ 0，定義q -二項式系數如下：。

特別地，q -二項式系數滿足帕斯卡型遞推關系式

定義1.4[1]（Lupas q -模擬Bernstein算子）令 f( x) ∈ C[0,1]，線性算子定義為：

2 Lupas q-模擬Bernstein有理函數及其遞推公式

從Lupas q-模擬Bernstein算子中，我們提取出n次Lupas q-模擬Bernstein有理函數

本文稱之為q-逆對稱性。而且，當 q= 1時，Lupas q-模擬 Bernstein有理函數退化為經典 Bernstein基函數。 bn(t; q ), t ∈ [0,1], i = 0,1,… ,n 是線性i無關的。

如圖 1所，當 q=1.5時五次 Lupas q-模擬Bernstein有理函數的圖像。

圖1 五次Lupas q-模擬Bernstein有理函數(q=1.5)

Lupas q-模擬Bernstein有理函數具有與經典Bernstein基函數類似的遞推公式。

定理 2.1 n次Lupas q-模擬Bernstein有理函數可由兩個n+1次Lupas q-模擬Bernstein有理函數遞推得到，即

證明：

定理 2.2 n次Lupas q-模擬Bernstein有理函數可由兩個n-1次Lupas q-模擬Bernstein有理函數遞推得到，即

和

利用式（1），得

利用式（2），得

3 Lupas q-Bézier曲線及其性質

定義3.1（Lupas q-Bézier曲線） 給定 n+1個向量 Pi∈ R2(i =0,1,… ,n)及實數 q＞ 0，稱n次參數曲線段為一條n次Lupas q-Bézier曲線。 Pi稱為控制頂點。依次用直線段連接相鄰兩個 Pi,i =0,1,2,…,n ，所得的n邊折線多邊形稱為Lupas q-Bézier曲線的控制多邊形。

Lupas q-Bézier曲線具有一個形狀參數，在控制多邊形不變的情況下，通過調整參數q可以調控曲線的形狀。如圖2所示，分別取q=1, 0.3, 5, 9時三次Lupas q-Bézier曲線的圖像，當q=1時，Lupas q-Bézier曲線即為經典的Bézier曲線。

圖2 取q=1, 0.3, 5, 9的三次Lupas q-Bézier曲線

定理 3.1 Lupas q-Bézier曲線具有如下基本性質：

1） 曲線是幾何不變和仿射不變的。

2） 曲線位于控制多邊形的凸包內。

3） 曲線插值于控制多邊形首尾兩端點，即P (0;q) =P0, P (1;q ) =Pn。

這表明Lupas q-Bézier曲線以控制多邊形的首尾兩邊為其起點和終點的切方向。

4)（q-逆對稱性）如果將一條以q0為參數的Lupas q-Bézier曲線的控制頂點逆序排列，得到的新的Lupas q-Bézier曲線和以1/q0為參數，原順序控制頂點為頂點的曲線是同一條曲線。

5）（退化性）當 q= 1時，Lupas q-Bézier曲線退化為經典Bézier曲線。

證明：下面只對q-逆對稱性進行證明，其他4條性質可根據相應的Lupas q-模擬Bernstein有理函數的性質推導得到。

定理 3.2(變差縮減性) Lupas q-Bézier曲線具有變差縮減性，即Lupas q-Bézier曲線與所在平面內的任一直線的交點個數不會超過它的控制頂點與該直線的交點個數。

記Lupas q-Bézier曲線為C，任取其所在平面內的一直線L，記C與L的交點數為 I( C, L)。以L為橫軸建立直角坐標系，由Lupas q-Bézier曲線的幾何不變性，記控制頂點的新坐標為(xi, yi)(i = 0,1,… ,n)，其中 0≤ x0≤x1≤…≤xn=1記控制多邊形為P，則P與L的交點數為 I( P, L)。下面只需證明 I( C, L ) ≤ I( P, L)。

推論 Lupas q-Bézier曲線具有保凸性，即當控制多邊形是凸的，則所定義的 Lupas q-Bézier曲線也是凸的。保凸性可看作是變差縮減性的特殊情況。

根據Lupas q-模擬Bernstein有理函數的遞推性質，可以推導出Lupas q-Bézier曲線的升階公式與de Casteljau算法，它們均是經典Bézier曲線的升階公式和de Casteljau算法的推廣形式。

定理3.3(升階公式) 一條n次Lupas q-Bé zier曲線可以形式上看作一條 n+ 1次的 Lupas q-Bézier曲線，即

其中

其中

說明：當q=1時，Lupas q-Bézier曲線的升階公式退化為經典Bézier曲線的升階公式。若記原n階曲線的控制頂點組成的向量為

升階后的 n+ 1次曲線的控制頂點組成的向量為

則可以把升階過程表示為：P(1)=TP.

稱為升階算子，它是一個(n + 2)× (n + 1)階矩陣。對r ∈ N不斷升階為n + r次 Lupas q-Bézier曲線，可得控制頂點為

當r→∞時，控制多邊形 P(r)收斂到Lupas q-Bézier曲線。

定理 3.4 (de Casteljau算法) 一條 n次Lupas q-Bézier曲線可表示為分別由前后n個控制頂點決定的兩條 1n- 次Lupas q-Bézier曲線的線性組合，進而得到Lupas q-Bézier曲線上某一點遞歸求值的de Casteljau算法：

或

說明：當q=1時，Lupas q-Bézier曲線的Lupas q-de Casteljau算法退化為經典Bézier曲線的de Casteljau算法。若記

則de Casteljau算法可表示為：

其中 Mr(t; q)是一個(n - r + 1)× (n - r+ 2)階矩陣，且

或

4 結 論

本文利用Lupas q-模擬Bernstein有理函數族構造了一種全新的廣義Bézier曲線，即Lupas q-B ézier曲線。研究了Lupas q-Bézier曲線的仿射不變性、凸包性、插值端點性、q-逆對稱性、變差縮減性及保凸性。推導出Lupas q-Bézier曲線的升階公式和de Casteljau算法。

在該文研究的基礎上，將進一步探索 Lupas q-Bézier曲線與有理Bézier曲線、q-Bézier曲線的關系，并對Lupas q-Bézier曲線的開花形式與細分過程的構造進行更為深入的研究。

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[13] Andrews G E, Askey R, Roy R. Special functions [M].London: Cambridge University Press, 1999.

Generalized Bézier Curves Based on Lupas q-analogue of Bernstein Operator

Han Liwen1,2, Chu Ying1, Li Ding1, Liu Feng1
( 1. College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei 050024, China; 2. Hebei Province Key Laboratory of Computational Mathematics and Application, Shijiazhuang Hebei 050024, China )

This paper presents a novel generalization of Bézier curves. Firstly, a class of rational functions with one shape parameter is presented. It comes from the Lupas q-analogue of Bernstein operator and is a natural extension to classical Bernstein basis. Then, the corresponding generalized Bézier curves, the so-called Lupas q-Bézier curves, are also constructed and their properties are studied. The new generalized Bézier curves share the degree evaluation and de Casteljau algorithm of the classical Bézier curves.

computer aided geometric design; Lupas q-analogue of Bernstein operator; Lupas q-Bézier curves; degree elevation; de Casteljau algorithm

O 241.5

A

2095-302X (2013)04-0063-06

2012-09-02；定稿日期：2012-11-06

國家自然科學基金資助項目（61170107）；河北省教育廳自然科學研究項目（Q2012041）

韓力文（1974-），女，河北石家莊人，副教授，博士，主要研究方向為計算機輔助幾何設計，數字幾何處理。E-mail：hanliwen@sina.com