射影線束形成的拋物線與橢圓拋物面的相似斷層表示

劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學，山西 太原 030024）

射影線束形成的拋物線與橢圓拋物面的相似斷層表示

劉阜平， 丁 勇

（太原理工大學，山西 太原 030024）

利用圖示法，說明了二射影對應線束形成拋物線時，線束中的特殊線影響了拋物線的形狀。如果任意五邊形的頂點在一條拋物線上，由相似五邊形的頂點確定的另一條拋物線與其“相似”。我們可以用一系列平行的截平面來表示橢圓拋物面，這些平行的截平面上拋物線相似，稱為相似斷層表示法。這種表示法為我們實現用計算機繪制三維橢圓拋物面奠定了理論基礎。

射影線束；相似拋物線；橢圓拋物面；斷層法

同向二射影線束，如果僅僅存在一對對應平行直線時，對應直線的交點軌跡形成拋物線[1]。一對對應線束與另一對對應線束是不同的，它們怎樣影響拋物線的形狀？平移二線束之一怎樣影響拋物線的形狀？怎樣選用合適的正投影圖來表示橢圓拋物面，從而更有利于計算機自動生成其三維圖形，這些都是我們需要解決的問題。

1 正放位置拋物線

如圖1所示，任意同向二射影線束L1L2通過平移和旋轉都可以建立透視對應位置，這種透視對應位置非常有利于二線束對應直線的作圖。二線束L1L2中兩對對應主直線為m1m2和n1n2、兩對特殊的“等角線”為x1x2和y1y2，一對對應線束和另一對對應線束的不同可以用x1和 y1夾角（或x2和 y2夾角）α來表示，稱為二線束度量角。α≠90°，因為α=90°時，L1L2為合同線束。

圖1 α=43°同向二線束L1L2

如圖2所示，如果我們平移線束L1L2在d1g2重合時，對應直線交點形成拋物線，這時y1y2交點是拋物線的頂點，x1（或x2）是拋物線的軸線方向。顯然，如果二線束底L1L2位置固定，不同α角的線束得到不同的拋物線。

圖2 正放位置拋物線

當然，在圖2中，如果旋轉線束L1（或L2），讓x1x2交點是拋物線的頂點，y1（或y2）是拋物線的軸線方向，也可以得到同樣的拋物線。

由于這種拋物線形成時，二線束底L1L2連線d1g2是拋物線軸線的垂線，為了敘述方便，稱為正放位置拋物線。

如圖3所示，如果我們固定線束L2不動，讓L1沿L1L2連線平移到 L3位置，形成“相似”拋物線。這是因為由于五邊形的頂點在一條拋物線上，另一個對應相似五邊形頂點確定了另一條拋物線，為了表示這種對應關系，我們引用了相似拋物線的概念。

2 斜放位置拋物線

如圖4所示 ，如果我們平移二線束底 L1L2在任意直線b1上時，L1L2連線不是拋物線軸線的垂線，這時形成的拋物線稱為斜放位置拋物線。如果令d1d2交點為D，g1g2交點為G，則L1D中點與L2G中點連線是拋物線軸線，此時屬于L2的切線為b2，屬于L1的切線為s1。我們固定線束L1不動，讓線束L2沿L1L2連線平移到L3位置，線束 L1L3形成的拋物線與 L1L2形成的拋物線相似。

圖3 相似拋物線的形成

圖4 斜放位置拋物線

我們知道，圓是正多邊形逼近形成，相似正多邊形形成大小不同的圓。如圖5所示，對于L1L2形成的拋物線，也可以看成由多邊形逼近形成，只是這時的多邊形中有一個點為無窮遠點。這種多邊形也有相似的對應圖形。如 L1L3與 L1L2二線束對應直線的交點形成多邊形相似。這里，對于“相似”拋物線的概念，是指二線束沿底連線平移后形成的拋物線。

圖5 多邊形逼近形成拋物線

如圖6(b)所示，如果L1不是沿L1L2連線平移，而是沿任一條直線d1移動到L3位置，形成的拋物線并不相似。因為存在著對應五邊形不相似情況。如圖6(a)中L1L2M12N12D12五邊形和L3L2M32N32D32五邊形。這時L1L2形成的拋物線與L3L2形成的拋物線，只是軸線方向相同，并不相似。

拋物線僅限于二線束沿底的連線平移后形成。觀察下面一種情況：

如圖7 (a, c)所示，L1L2連線為b1線 ，拋物線通過五點形L1L2M12N12D12。如圖7(b, d)所示，如果我們讓L2沿拋物線軸線方向移動到L3位置，L1L3連線為a1線，拋物線通過對應五點形L1L3M13N13D13。顯然，兩個五點形中有3個三角形同向或反向相似，但兩個五點形并不相似，因此對應拋物線不相似。

圖6 平移線束L1到L3形成拋物線線不相似

圖7 二線束底在a1和b1上形成拋物線不相似

如圖1所示，a1和b1是對稱于y1的線，a2和b2是對稱于y2的線，這樣的對應“等角線”有若干條，但并不形成相似拋物線。而 n1m1和m2n2是這些“等角”線中特殊的兩條，因為它們夾角為90°。

綜上所述，對于正放位置拋物線，合適選擇二線束度量角α可以得到相對應的拋物線。同一對對應線束，斜放位置不同，得到不同“大小”形狀的拋物線。二線束沿底的連線平移，可以得到相似拋物線；二線束底的連線，如果分別是對稱于y（y1或y2）線的“等角”線中的兩條，并不能得到相似拋物線。

3 橢圓拋物面的斷層表示

3.1 正放位置橢圓拋物面

見圖8，橢圓中有若干對共軛直徑，其中長短軸的特殊性是人所共知的。另外還有一對特殊共軛直徑，它的長度相等，稱為等共軛徑，用AB、CD表示。AB（或CD）也把橢圓平分成等積的兩部分，和長短軸不同的是，這兩部分并不對稱。

當我們把一條等共軛徑AB放置為正平線，把另一條CD等分，作一系列平行于正平面的截平面，得到的拋物線相似。由此得到橢圓拋物面的正投影圖。因為它的正面投影是由若干個平行的相似拋物線截交線來表示，為了敘述方便，稱為相似斷層法。如果這若干個平行的相似拋物線為正放位置拋物線，形成的橢圓拋物面稱為正放位置橢圓拋物面，如圖8所示。

二線束中各對應直線交點的運動軌跡，如圖9所示。

y1y2交點的運動軌跡始終屬于鉛垂面，該鉛垂面是屬于等共軛徑CD的半橢圓，如圖9(a)所示。

兩條主直線m1m2和n1n2交點始終在變徑圓上運動，它的運動軌跡也是屬于CD的半橢圓，如圖9(b)所示。

任取對稱于y線的直線a1a2和b1b2的交點，其運動軌跡也是屬于CD的半橢圓，如圖9(c)所示。

屬于一對非固有點x1x2交點的運動軌跡是橢圓柱面，我們可以稱為方向柱面，如圖9(d)所示。正放位置橢圓拋物面方向柱面軸線為鉛垂線。

如果把橢圓等共軛徑CD放置為正平線，等分 AB，得到另一種位置橢圓拋物面。兩種位置橢圓拋物面雖然觀察方向不同，形狀相同。顯然，橢圓拋物面也可以看成由AB（或CD）為軸的半橢圓束組成。

在圖8中，如果用傳統方法，把橢圓長軸（或短軸）放置為正平線，讓一系列平行的正平面截交線為相似拋物線，通過作圖證明，這時通過短軸（或長軸），即側平面上截交線不是拋物線。

3.2 斜放位置橢圓拋物面

圖8 橢圓拋物面斷層表示

圖9 兩線束中對應直線交點軌跡分解圖

如圖10所示，如果我們保持水平面上橢圓不動，讓二線束L1L2形成斜放位置拋物線，這時形成的橢圓拋物面稱為斜放位置橢圓拋物面。此時方向柱面軸線是正平線。對于二線束 L1L2，每一對對應直線交點運動軌跡都是屬于CD的半橢圓。

圖10 橢圓拋物面斜放置斷層表示

關于斜放位置橢圓拋物面性質還需進一步研究。

4 結 束 語

為了用計算機繪制三維的橢圓拋物面，我們只需選擇屬于橢圓的一條等共軛徑，共軛徑兩端點為兩對應線束的底，屬于線束的平面垂直于橢圓面，該平面上二線束形成拋物線。讓該平面平行移動，二線束底隨平面和橢圓交點平移，得到一系列平行且相似的拋物線。由于二射影對應線束，不僅可以形成拋物線，還可以形成圓、橢圓、雙曲線等[1]，因此，這種方法還可以推廣到其它二次曲面，如橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面等。

[1] 劉阜平, 丁 勇. 射影線束形成二階曲線及其退化形式[J]. 圖學學報, 2012, 33(4): 22-26.

[2] 南開大學數學系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978: 150-160, 231.

[3] 劉阜平, 丁 勇. 空間二射影對應點列形成的單葉雙曲面[J]. 圖學學報, 2012, 33(5): 28-31.

The Similar Cutting Layers of Parabola and Elliptic Paraboloid Formed by two Projective Line Pencil

Liu Fuping, Ding Yong
( Taiyuan University of Technology, Taiyuan Shanxi 030024, China )

With drawing, a changing parabold is formed by the two projective line pencils formed. If the five vertexes of a pentagon are on a parabold, another parabold formed by a similar pentagon is similar to this one. In order to draw elliptic parabolaid using computer, a series of parallel cutting planes can be used which are similar parabolds to show the curves. This is referred to as cutting layers method.

projective line pencils; similar parabold; elliptic paraboloid; cutting layer method

O 185

A

2095-302X (2013)05-0062-04

2012-10-28；定稿日期：2013-01-04

劉阜平（1957-），女，江蘇阜寧人，副教授，主要研究方向為射影幾何。E-mail：dylfp@sohu.com

丁 勇（1955-），男，安徽銅陵市人，副教授，主要研究方向為射影幾何，計算機三維CAD。E-mail：vhalf2010@sina.com