高壓輸電導線非線性振動分析

趙桂峰，張 猛，李 杰，陳 淮

(1．鄭州大學 土木工程學院，河南 鄭州450001;2．同濟大學 土木工程學院，上海200092)

0 引言

輸電導線是電力系統中重要的載體，其安全性關系到整個電力系統的正常運行． 根據其主要力學特性，現行設計方法常采用懸索靜力理論對輸電線進行設計［1-4］．由于輸電導線具有質量輕、阻尼小、柔度大及跨度大的特點，其風致振動明顯且具有大位移小應變的幾何非線性特征，尤其當輸電線受到風雨激勵或者強風時更易發生較強的非線性振動，嚴重時將會造成線路的破壞．因此，對輸電導線的非線性振動進行深入研究具有重要意義． 筆者在文獻［5］的基礎上，基于擴展的Hamilton 原理建立了考慮初始撓度的水平懸垂輸電線的三維非線性運動微分方程，按文獻［2］的方法將三維問題約化為二維問題，采用Galerkin模態截斷方法將連續偏微分方程離散得到相應的離散運動方程，用四階的Runge-Kutta 方法研究了輸電導線在簡諧激勵作用時面外振動與面內振動在主共振、超諧波共振和次諧波共振時的耦合運動特點．

1 運動方程的建立

以兩端鉸支在同一水平線上的彈性輸電線為研究對象，將其在Oxy 平面內的初始靜平衡構型S0作為參考位置，且以函數y(x)表示其在Oxy 平面的靜平衡幾何構型．Ec是輸電線的彈性模量，Ac是其在靜止狀態的橫截面面積，假定在振動過程中為常數;γc=mg 是單位長度輸電線自重，g 是重力加速度．在外部激勵F(t)作用下，輸電線的三維動構型以SD表示，且外部激勵在x、y、z 坐標軸的分量分別表示為F(x，t)、F(y，t)、F(z，t);u、v、w 分別為輸電線沿面內縱向振動、面內橫向振動和面外橫向振動的位移．

圖1 輸電線構型Fig．1 Configurations of conductor

采用擴展的Hamilton 原理建立輸電線的三維運動方程為

考慮實際輸電線的軸向剛度EcAc較大、阻尼較小，故可其軸向慣性力和阻尼力;同時不考慮輸電塔的振動對導線振動的參數激勵作用． 按文獻［2］的方法將上述方程約化為二維方程:

輸電線屬于小垂度懸索，其初始構型可用拋物線描述，取y(x)=4d(x0/LH-x20/LH)．d 為導線弧垂，LH為導線水平跨度．采用Galerkin 模態截斷方法將其面內響應和面外響應表示為:

其中，各系數定義詳見文獻［5］．

從式(6)可見，輸電線的面內和面外振動非線性耦合強烈，除線性耦合外，還包含有平方耦合和立方耦合，根據懸索線性振動理論［3］，其面外與面內振動的線性固有頻率之間具有倍頻關系．由非線性振動理論［2］知，輸電線在一定參數條件下可發生面外與面內振動的1∶1、1∶2(或2∶1)、1∶3(或3∶1)內共振，當激勵頻率與系統頻率滿足一定關系時，輸電線系統將產生主共振、1/2(1/3)次諧波共振和2 階(3 階)超諧波共振，同時內共振會激發非直接受激模態的振動．

2 數值分析

采用四階的Runge-Kutta 方法，對輸電線在簡諧激勵作用時的非線性共振以及內共振進行數值分析，以揭示其非線性振動特點．引入狀態變量:

則式(6)可轉化為狀態方程:

由于懸索面外一階振動的線性固有頻率是其所有頻率中的最小值［3］，考慮實際輸電線對風荷載的敏感性可知其面外振動最易被激發，故僅研究輸電線直接受面外簡諧激勵時非線性振動特點，即取Fy=0，Fw=Awcos(ωzt)．以下分析時均取Aw=10，初值:qv1=0，q·v1=0;qw1=1，q·w1=0．000 05．

以華東地區某高壓輸電線路中常見的LGJ -630/45 型號導線為例，其自重為2．06 kg/m，直徑33．6 mm，截面積666．55 mm2，彈性模量63 000 MPa，拉斷力141 265 N，平均運行張力35 316 N，大風(30 m/s)張力43 688 N． 最大弧垂16．6 m．水平檔距480 m．可知該輸電線垂跨比為1/27?1/8，上述運動方程可用于分析其強迫振動特點．

2．1 主共振(ωz≈ωw1)和密頻內共振

按懸索線性振動理論［3］，其面外振動模態取: φn(x)=sin(nπx/LH)，n=1，2，3，…相應的固有頻率為

式中:H 為輸電線跨中水平張力． 由上述參數可得:ωw1=0．136 4 Hz．由模態截斷時的假設可知，輸電線面內振動的線性固有頻率ωv1與面外線性固有頻率ωw1近似相等，故此條件下面外振動與面內振動存在密頻內共振［4］．

為表征激勵頻率ωz與輸電線面外固有頻率ωw1的關系，引進解諧參數σ1:

ωz=kωw1+εσ1． (8)

式中:k 為非負實數;ε 為小參數．

為研究系統的主共振響應，取k = 1，ε =0．001，σ1=10 并將初值條件代入狀態方程(7)，計算結果見圖2 所示．

由圖2 可知，由于密頻內共振影響，非直接受激的面內橫向振動被激發，其振動具有強迫振動的特點，且穩態時其振動幅值可達到與直接受激的面外振動幅值在同一數量級． 由面外與面內振動響應時程可見，穩態時的響應具有“拍”的現象，說明面外與面內振動之間具有能量轉移;雖然外激勵是單頻激勵，且面內和面外振動取的是單模態運動，但從響應的Fourier 幅值譜可見，面外和面內振動均呈現出寬頻振動特性，直接受激的面外振動以1、3 倍線性固有頻率附近的寬頻振動為主，而面內振動則以1/3、3 倍的線性固有頻率附近的寬頻振動為主，且高頻振動能量不可忽視．可見密頻內共振不但使面外和面內振動相互耦合，而且還對系統的振動具有調頻作用．

2．2 1/2 次諧波共振(ωz≈2ωw1)和密頻內共振

當激勵頻率ωz≈2ωw1時，系統發生1/2 次諧波共振．受激的面外振動穩態最大位移幅值是初始振幅的2．4 倍;密頻內共振使得未受激的面內產生有阻尼的自由振動，但穩態時其振動并未完全衰減，而是保持有限幅值的振動;導線的振動呈現出寬頻振動特性(圖3(c)、(d))，面外振動以近似于1/2、1/3 和1 倍激勵頻率附近的模態振動為主，面內振動的能量分布在0 ～0．6 Hz 的頻段內，尤其在0．3 ～0．45 Hz 頻段的振動能量較大，可見密頻內共振對導線的振動具有調頻作用．

2．3 2 階超諧波共振(ωz ≈1/2ωw1)和密頻內共振

當激勵頻率ωz≈1/2ωw1時，系統發生2 階超諧波共振．此時導線的振動具有類似于主共振時的響應特點，直接受激的面外振動產生了較大的位移，在穩態時其最大位移幅值是初始值的11倍;密頻內共振使非直接受激的面內振動被激發，面外振動以近似于1、2 倍激勵頻率附近的振動為主(圖4(d))，面內振動則以較寬頻段的振動為主(圖4(c))，導線的高頻振動不容忽視．由此可見，密頻內共振使得系統的振動特性發生了較大改變．

3 結論

采用擴展的Hamilton 原理建立水平懸垂導線的三維運動方程，并將其約化為二維振動方程，應用Galerkin 方法對其進行模態截斷得到有限自由度的離散運動方程，然后使用四階的Runge-Kutta 方法對離散方程進行數值求解，得到了導線在簡諧激勵作用時的面內和面外響應．研究表明:輸電線結構由幾何非線性可引起其面外振動模態與面內振動模態的一次方、平方與立方耦合，當面外線性固有頻率與面內線性固有頻率接近時，在外激勵作用時導線將產生密頻內共振現象，響應的能量從直接受激模態轉移到非直接受激模態;幾何非線性使得系統不僅有主共振發生，還將產生次諧波共振和超諧波共振，且超諧波共振時的響應遠大于次諧波共振時的響應;密頻內共振使得導線在主共振、次諧波共振和超諧波共振時對其振動具有明顯的調頻作用．

可見，由于非線性振動的調幅調頻作用，使得輸電線即使在外激勵的幅值不大的情況下或者激勵頻率不等于系統固有頻率時，也可因發生主共振、次諧波共振和超諧波共振而使其振幅很大．同時，在振動過程中導線面內的高頻振動顯著，由于面內振動(面內對稱模態振動)可引起導線動張力的變化，同時導線的高頻振動將使得導線與輸電塔之間的耦合振動更為顯著，這對于輸電線路結構的安全是非常不利的．

［1］ IRVINE H M and GRIFFIN J H． On the dynamic response of a suspended cable［J］．Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1976(4):389 -402．

［2］ NAYFEH A H，MOOK D T． Nonlinear oscillations［M］． New York:Wiley，1979．

［3］ MAX IRVINE H． Cables structures［M］．bridge:Massachusetcs The MIT Press，1981．

［4］ 白鴻柏．結構密集模態的非線性相互作用及其表現［D］． 南京:南京航空航天大學振動工程研究所，1996．

［5］ 趙桂峰．高壓輸電塔-線耦聯體系風致非線性振動研究［D］．上海:同濟大學土木工程學院，2009．