單螺桿擠壓破裂植物細胞力學模型的研究

翟 新 崔政偉

（江南大學機械工程學院食品加工技術與裝備研究中心，江蘇 無錫 214122）

細胞壁是植物細胞的顯著特征之一，由纖維素、半纖維素和果膠等組成，組織結構比較致密堅硬且不溶于大部分溶劑。大部分生物活性成分或藥用成分存在于細胞內，僅少量存在于細胞間隙，因此植物的細胞壁是細胞內有效成分提取的主要障礙。破裂細胞壁是天然成分快速高效提取最關鍵的環節，因此對植物細胞的受力破裂規律進行研究對在植物有效成分提取的技術領域實施創新和突破具有重要意義。已有研究［1－3］表明，擠壓可以破裂植物細胞提高提取速度和提取率。本試驗針對單螺桿擠出過程中物料的受力情況進行分析，并建立相應的數學模型，為擠壓輔助植物提取提供理論基礎。

1 單螺桿中擠壓物料的壓力大小及分布

單螺桿擠壓過程中產生擠壓力，并且貫穿了整個擠出過程，在擠壓過程中對物料的細胞破裂起到了至關重要的作用。通過對螺桿擠壓力進行分析，從而分析細胞受力，得出細胞的受力模型。

為了使結論更具普遍性，本試驗以應用最為廣泛的等螺距、變截面的單螺桿為研究對象（見圖1）。由于植物中活性成分的提取對溫度有嚴格的要求，故這里選取的單螺桿擠壓設備沒有任何加熱設備。且已有研究［4－6］表明：不輔以加熱的擠壓過程能夠對植物的細胞產生破壞作用，促進植物活性成分的提取與獲得。

在單螺桿擠壓過程中，物料自投入到擠出，經歷了固體輸送、壓緊和擠出破碎等過程。在固體輸送區，物料是靠它與螺桿和機筒之間的摩擦系數的差值形成的摩擦力而向前輸送的，隨著螺桿橫截面積的變大，相鄰螺紋之間的空間體積變小，使得空氣被壓縮，壓強變大，在空氣壓力的作用下，物料被緊緊地壓縮在一起。在這一過程中，由于壓力的增大，植物細胞所受的剪切應力也增大。隨著物料向前輸送，物料進入到擠壓區，壓力變得更大了，擠壓也更為劇烈，植物細胞壁內的剪切應力也繼續增大，直到超過細胞所承受的最大剪切應力，致使細胞壁被損壞，植物細胞破裂。

圖1 螺桿結構簡圖Figure1 Simplified screw structure

以相鄰兩個螺紋之間的物料為研究對象，定義物料流動的方向為L 向（圖1中箭頭方向），在L 方向上，取長度微元dz，在該微元段，物料可以視為平衡狀態，有以下平衡方程［7，8］：

式中：

1．1 螺桿對物料的作用力

螺桿對物料的作用力由3部分組成，分別是螺桿軸表面對物料的摩擦力和前后相鄰兩個螺紋的相對表面對物料的摩擦力。如圖2所示，設相鄰兩螺紋頂端的距離為w m，螺距為w′m。假定在L 處的作用力為

式中：

Fs（L）—— 在L 處螺桿對物料的作用力，N；

cs（L）—— 在L 處螺桿與物料接觸的周長，m；

τvp—— 物料在運動過程中在L 方向上所受到的剪應力，Pa；

Z—— 物料微元的長度，m。

假設在指定L 方向上，螺桿周長和剪應力都是呈線性的關系變化，那么同理在L ＋z 處，有：

圖2 相鄰螺紋面間的分析單元Figure2 Unit of analysis between two threads

取L 和L＋z處的力的平均值作為擠出機螺桿對物料的作用力。即有：

在z 取值很小時，令z 為dL，式（4）可寫為

定義機筒直徑為Dm，物料運動方向與周向的夾角為θ°，螺紋的升角為°，螺紋高度函數為h，那么L 處的螺紋高度為h（L），L＋z處的螺紋高度為h（L＋z），設螺桿旋轉1周物料前進的實際距離為k m，如圖3所示，則有以下關系：

則螺桿與物料接觸的總長度為：

式中：

w′（L）—— 物料與螺桿表面的接觸長度（見圖4），m。

根據幾何關系有：w′（L）＝

圖3 螺桿旋轉1周物料移動距離Figure3 Moving distance of material in one rotation

圖4 分析單元截面圖Figure4 Cross－section of analysis unit

L 方向上剪應力τvp的求取過程：

如圖5所示，在螺桿軸線方向上取兩相鄰截面1和2，橫截面積分別為A1和A2，物料在這兩個平面上的流速分別為v1和v2。根據連續性方程，可得：A1v1＝A2v2，作適當變形，可得：－dA／A1＝dv／v1，將等式作如下變化：

將螺桿和機筒都展開成平面，見圖6，任意截面處的展開截面應為長方形，面積為A ＝WH ＝W（H1－lsin），dl＝v1dt， 為螺桿的錐角。整理得：dv／dt＝v21WHsin／A1，根據牛頓第二定律有：dF→＝dm·a，由于這里力和加速度的方向相同，故可寫成dF ＝dm·a又dm ＝ρA1dv1，a＝dv／dt，進一步整理有：

圖5 L方向上的分析單元Figure5 Unit of analysis in the“L”direction

圖6 機筒、螺桿展開圖Figure6 Developing drawing of barrel and screw

1．2 機筒對物料的作用力

機筒對物料的作用力作用在兩螺紋之間物料的頂部，類似螺桿對物料作用力的求法，具體過程如下：

SCAD患者抗血小板治療方案基于其是否血運重建策略而定。而非血運重建即優化藥物治療，為SCAD患者首選治療方案，抗血小板治療為優化藥物治療的基石，需強調的是這種首選的優化治療方案針對無左主干或前降支近段病變的SCAD患者[2]。血運重建包括經皮冠狀動脈支架植入術(percutaneous coronary stent implantation，PCI)、冠狀動脈旁路移植術(coronary artery bypass grafting，CABG)和雜交策略。

在L 處：

式中：

cb—— 相鄰兩螺紋間機筒內表面與物料接觸部分的周長，m；

τvr′—— 物料在運動方向上所受到的剪應力，Pa。

同理，在L ＋z 處：

那么，在（L，L ＋z）這一段上的機筒對物料作用力的平均值為：

同樣用dL 替換z 有：

對螺桿中物料的運動進行分解，見圖7。τvr表示物料在螺桿周向上的剪應力，剪應力的方向和速度的方向是一致的。由圖7中的速度矢量關系可以得到剪應力τvp，τvr和τvr′之間的關系如下：

圖7 速度分解圖Figure7 Velocity vector diagram

1．3 背壓對物料的作用力

背壓指的是互相平行的兩個平面內，由于面積和壓力的不同而產生的對物料的壓力。如圖8所示，在距離為Z m的兩平行平面內，左側L 處平面的壓力為PPa，橫截面積為A0m2。

圖8 承受不同壓力的平行平面Figure8 Two parallel planes under different pressure

假設壓力變化函數和橫截面積變化函數與長度呈一次線性關系，那么右側L＋dL 處的壓力為P＋fP／fLdL，橫截面積為A0＋fA0／fLdL。由以上條件可以得出這兩個平面所受的壓力：

因此，可以求出：

根據螺桿結構，可以求出A0，如下：

如此一來，就求出了背壓對物料的作用力，表達式為

1．4 物料自身變形所產生的作用力

理想狀態下，物料由于塑性變形所產生的應力［9］：

式中：

A0—— 圖8中左側L 平面處的橫截面積，m2；

A—— 圖8中右側L ＋dL 平面處的橫截面積，m2；

σ0—— 物料材料的屈服應力，MPa。

進一步求取塑性變形產生的作用力：

1．5 螺桿中的壓力分布函數

根 據 關 系 式dFs＝（Fs／L）dL，對 式（10）作 如 下變形：

同理，可以對式（16）、（20）、（23）作相同處理，得到dFp、dFb和dFd。代入式（1），可得：

分離變量并化簡有：

積分上式有：

進一步化簡式（27），可得到螺桿內任意一點處的壓力值：

式中：

A0（0）—— 螺桿端面的橫截面積，m2；

B—— 螺桿表面至任一點處的垂直距離，m。

式（28）表示單螺桿中壓力的分布規律。

2 植物細胞破裂模型的建立

2．1 植物細胞模型的選取

物料的最大應力和植物細胞的形狀和結構特點有著緊密的聯系，研究假設的模型有二維六邊形模型［10］、三維封閉球形模型［11］、三維多面體模型［12］、無固定形狀的6桿24彈性纜索組成三維彈性模型和最新提出的三維薄壁柱狀組織模型［13］。這里選用現在被廣泛研究的截面為正六邊形的三維薄壁柱狀組織模型（見圖9）為研究對象，來求解物料細胞承受的最大應力。

圖9 六邊形柱狀細胞模型Figure9 Hexagonal columnar cell model

2．2 植物細胞承受的最大應力

設單個細胞的截面正六邊形邊長為l m，縱向長度為hm，細胞壁厚度為t m。定義這3個基本量的變形系數為λ1、λ2和λ3，設當細胞內部壓力為零時，這3個量的初始值分別為l0、h0和t0，則有：λ1＝l／l0，λ2＝h／h0，λ3＝t／t0。細胞壁的體積占細胞總體積的比率為ρ0 ＝2t0／槡3l0，由于在整個推導過程中假設細胞的總體積不變，根據材料力學的知識有：λ1λ2λ3＝1。定義截面六邊形邊長所受的應力為τ1，細胞縱向長度方向的應力為τ2，細胞厚度方向的應力為τ3，根據柯西應力的求解公式τi＝kiG（λ2i－α／λ2i－1＋α）＋p［14］，可求得這3個應力分別為

式中：

k1、k2和k3—— 分別表示l向、橫截面內垂直于邊長l方向和h 向上細胞壁的變形系數，由細胞的結構而確定；

G—— 細胞壁的彈性系數，N／m；

α—— 常量，取值范圍在（0，0．15）之間；

pi—— 細胞內部的壓力，Pa。

同時，根據理論力學的知識，運用力平衡理論和達朗貝爾原理可以求得這3個應力為：

式中：

p0—— 細胞外部的壓力，即是上面所求得的螺桿內部的壓力，Pa。

對式（29）和（30）兩組公式進行處理，可得：

定義細胞體積膨脹率為ν，有：ν＝V／V0＝λ21λ2，V0為細胞未被壓縮時的體積。代入式（31）和（32）有：

聯立式（33）和（34），消去兩式中間的變量pi和po，可以得到一個關于ν的一元二次方程，形式如下：aν2＋bν＋c＝0，式中各系數的表達式分別為

求解一元二次方程aν2＋bν＋c＝0，并取大于零的正根，有：

進而可得λ1和λ2的關系，回代入方程，可得（pi－p0），結果如下：

這樣，3個方向的應力就都可求了。其中，最大值為

式中：

p（B）—— 螺桿中壓力的分布函數。

2．3 植物細胞破裂的模型

設植物細胞破裂的臨界剪應力為τb，當細胞所承受的最大剪應力大于τb時，細胞會破裂。由此，細胞破裂的判定條件的數學表達式為

式中τb的取值和植物的種類有關，可由試驗測定。

3 分析與討論

3．1 最大剪應力和壓力之間的關系

由植物細胞的最大剪應力的數學模型（37）可知，植物細胞所受的最大剪應力與螺桿內壓力的分布情況有著緊密的聯系。由模型（28）可知，螺桿內的壓力p0從物料的進入端到擠出口越來越大，由開始的小于細胞內壓pi到最后大于pi，故最大剪應力的絕對值也是一個先減小后增加的過程，并且后半段的壓力值可達到的值比前半段要大，細胞所受的剪應力也必將在后半段達到最大值。螺桿內壓力越大的地方，空腔的體積越小，物料的流速越大，物料之間的摩擦也就更為劇烈，剪應力也越大，由模型（28）可知，此時壓力值也越大，再根據模型（37），細胞所受的最大剪應力也越大；故細胞所受的剪應力和壓力以及螺桿的剪切力都是正相關關系。

3．2 最大剪應力和螺桿轉速及其物理參數之間的關系

植物細胞所受的剪應力與螺桿內壓力的分布有關，而壓力的分布規律同時也受螺桿的轉速和結構參數的影響。當螺桿的轉速較高時，擠壓機單位時間內擠出的物料量就比較大，即擠出速率較快，此時物料在擠壓機內的運動速度也越大，由式（9）可知，此時物料所受的剪切力也更大，所以植物細胞所受的最大應力值也就越大；螺桿的結構參數中螺桿錐度、螺槽深度和螺紋升角對植物細胞所受的應力有一定的影響。其中當錐度、螺紋升角、螺槽深度越大時，螺桿的壓縮比、pi的值、pi－p0的絕對值也就越大，植物細胞所受的最大應力也會相應變大，這也正是有錐度變螺距螺桿的擠壓效果優于等螺距螺桿的原因所在。

3．3 最大剪應力和植物自身物理性質間的關系

植物細胞所受的剪應力還與自身的物理性質有關，比如宏觀的物料的黏度，物料在螺桿內的運動速度受物料本身的黏度的影響，黏度越大，物料在擠壓過程中的能量損耗也越大，流速會有一定的削弱，導致物料內部的剪切力變小，物料細胞所受的最大剪應力也隨之變小；微觀的細胞形態結構和細胞壁材料的彈性模量都對細胞的力學模型產生影響，不同的形態結構對應不同的力學模型，有著不一樣的柯西應力的表達式，導致了數學模型的不同。

4 結論

（1）文章通過理論推導的方法建立了單螺桿擠壓過程中物料細胞受力的數學模型方程，該模型適用于任何不同結構參數、不同截面形狀的單螺桿擠出機的擠出情形。

（2）壓力的分布情況和螺桿自身的結構參數（螺桿直徑、螺紋升角和螺距）、螺桿轉速和生產效率有著直接的關系，在螺桿結構參數確定的前提下，可以通過調整螺桿的轉速和擠出速率來改變物料的受力情況，從而達到理想的破壁狀態。

（3）根據不同種類植物細胞的臨界應力的不同，可以根據所推導出來的模型設計出滿足要求的不同結構參數的擠壓加工設備。

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