TD-ERCS混沌系統和提升小波相結合的圖像加密方法

張 坤，甘小艇

(楚雄師范學院數學系，云南楚雄675000)

其中，

1 引言

數字圖像作為數字多媒體的一個重要組成部分，它的安全性研究得到了廣泛的關注。在傳統的密碼學研究領域中，通常將數字圖像看作二進制流進行加密。由于數字圖像存在數據量大、數據的二維空間分布和數據有大量冗余等特點，使得傳統的加密方法不適合圖像的加密［1］。

小波變換作為一種復雜的數學變換，具有局部化分析特性、多分辨率特性、光滑性、緊支性以及具有消失距等屬性［2］。小波變換的這些特性，使得它廣泛應用于圖像處理領域中。提升小波變換作為一種新的小波分析方法，除了保持了第一代小波的特性，還具有簡單直接，易于硬件實現等優點。目前，JPEG2000標準是基于提升的離散小波變換作為其時頻分析的核心［3］。

混沌是一種普遍存在于宏觀到微觀世界的非線性系統。混沌系統具有對初始條件敏感性、內在隨機性以及存在不穩定周期軌道的稠密集等特性。混沌系統的這些特性與密碼學之間具有結構上的相似性，使得混沌在密碼學中有著很好的應用前景。基于切延遲的橢圓反射腔映射系統(tangent-delay ellipse reflecting cavity-map system，TD-ERCS)是一種為混沌加密理論而設計的混沌系統。該系統具有良好安全特性。已經證明TD-ERCS系統滿足離散映射、全域混沌、全域零相關和巨大的參數等安全性條件［4－5］。本文利用TD-ERCS系統良好的混沌特性，提出一種基于TD-ERCS映射的數字圖像加密算法。該算法首先將數字圖像進行提升小波分解，然后將分解得到的子帶圖像轉換為向量形式。利用TDERCS混沌序列對子帶圖像向量進行置換加密，將數字圖像加密轉化為對數字圖像的提升小波分解子帶圖像進行置亂以達到圖像隱藏的目的。通過計算機仿真表明，該方法對數字圖像加密具有較好的隱藏效果。

2 基本概念［6］

定義1:s1，s2，…，sp(p＜∞)的排序問題，即求集合 X={1，2，…，p}上的置換 π，使得:

定義4:對序列Z=z1z2…zq的置換加密，即根據置換π，使得:

其中，Z為明文;C為Z的密文。根據式(1)～式(3)，可以求出 s1，s2，…，sp(n ＜∞)的排序置換π及逆元π－1，即可得到解密明文:

3 TD-ERCS混沌系統

TD-ERCS混沌系統是我國學者盛利元等人于2004年提出的一種非線性動力系統。給定TD-

定義3:對稱群(Xp，⊙)中，π∈Xp，-π－1∈Xp使得:ERCS的系統參數μ(0＜μ≤1)，初值 x0(－1＜x0≤1)，α(0 ＜α≤π)和切延遲 m(m=2，4，5，6，…)，則TD-ERCS混沌系統的映射關系為［7］:

其中，

其中，(μ，x0，α，m)稱為 TD-ERCS 種子參數。TDERCS系統根據給定的種子參數，通過式(6)～式(11)迭代得到兩個獨立的混沌實值序列xn，kn(n=1，2，3，…)。

4 提升小波變換的基本原理

提升小波變換是一種不依賴于傅里葉變換新的小波構造方法。提升小波克服了第一代小波的不足，在變換過程中不會引入量化誤差，在處理圖像邊界問題時無需對數據進行延拓，小波重構時可以無失真地恢復圖像。算法實現簡單、快速直接［8］。提升小波變換的過程如下:

步驟1 分裂。分裂將原始信號sj={sj，k}分為偶數序列ej－1和奇數序列oj－1組成的兩個互不相交的子集合。即:

其中，Split(sj)表示分解過程。

步驟2 預測。利用偶數序列和奇數序列之間的相關性，由偶數序列預測奇數序列。預測過程為:

其中，dj－1為細節系數或小波系數;P(·)為預測算子。

步驟3 更新。通過算子U產生新的子數據集sj－1。更新過程為:

提升小波變換是一個完全可逆的過程，其逆變換只需簡單地改變執行的先后順序，具有與正變換相同的計算復雜性。

5 基于TD-ERCS系統和提升小波理論相結合的圖像加密過程

使用TD-ERCS系統和提升小波理論相結合的圖像加密過程，其實質就是利用提升小波變換對數字圖像進行時間空間頻率的局部化分析，實現數字圖像的時頻分離。利用TD-ERCS系統生成混沌數據流與小波變換后的數字圖像各層近似系數進行排列置換運算，從而實現數字圖像的加密。使用TDERCS系統和提升小波理相結合的圖像加密流程為:

步驟1 輸入TD-ERCS混沌系統的種子參數，根據種子參數生成TD-ERCS混沌序列xn，kn和yn。

步驟2 輸入數字圖像文件，對數字圖像進行二維提升小波變換，計算出低頻系數矩陣cA和高頻系數矩陣cH，cV和cD。

步驟3 將系數矩陣cA，cH，cV和cD按列(或行)排列的方式把矩陣轉換為一維行向量scA，scH，scV和scD。

步驟4 求出混沌序列xn的排序置換π，由π和式(4)得到數字圖像scA，scH，scV和 scD的置換cA'，cH'，cV'，cD'。

數字圖像的接受方在接收到亂序的數字圖像低頻系數向量和高頻系數向量的置換cA'，cH'，cV'，cD'后，可以采用解密算法恢復數字圖像。解密算法為:

步驟1 利用式(1)、式(3)求出混沌序列xn的π－1，根據式(5)得到 cA'，cH'，cV'，cD'的逆置換 scA，scH，scV和scD。

步驟2 將scA，scH，scV和scD按列(或行)排列的方式把一維行向量轉換為矩陣 cA，cH，cV和cD。

步驟3 利用cA，cH，cV和cD對數字圖像向量進行提升小波逆變換，重構數字圖像。

6 仿真實驗與結果分析

為了對算法的有效性進行分析，本文選取1幅160×213的數字圖像進行加解密實驗。實驗中，TD-ERCS 系統的種子參數為(0．4256，0．7130，0．5246，2)。對于非線性動力系統，Lyapunov指數是衡量系統是否為混沌的一個重要指標。Wolf等提出了一種能從實驗數據計算最大Lyapunov指數的算法——長度演化法［9］。本文利用Matlab 7．0軟件實現了長度演化法，并計算出該TD-ERCS系統xn序列的最大Lyapunov指數為0．8714。結果表明，種子參數(0．4256，0．7130，0．5246，2)的 TD-ERCS 系統存在混沌現象。采用本文的加密算法對圖像進行加密實驗，使用Haar小波得到提升方案，對圖像矢量進行二維的提升小波分解，并且對圖像加解密。圖1為算法實驗的結果。其中，圖1(a)為原始圖像，圖1(b)為提升小波重構的圖像，圖1(c)加密圖像，圖1(d)為正確解密后的圖像。

圖1 算法實驗結果

由圖1可知，對原圖像進行提升變換后重構，重構后的圖像保留了原始圖像的全部信息。對原始圖像的加密結果能得到類似于噪聲的加密圖像，從加密圖像中也幾乎不能得到原圖像的任何信息。在得到正確的密鑰的情況下，對加密圖像進行解密操作，便能得到和原始圖像一模一樣的加密圖像。

7 算法安全性與性能分析

7．1 密鑰空間分析

本文的圖像加密算法以TD-ERCS系統的種子參數(μ，x0，α，m)作為算法的密鑰。TD-ERCS 的系統的種子參數中，除了切延遲m是整數外，μ，x0，α均為浮點數，其密鑰空間非常大。

使用本文的圖像加密算法得到的加密圖像是置亂后提升小波變換分解系數重構后的圖像。在對圖1(a)的加密實驗中，提升小波分解的系數矩陣轉換得到的一維向量分別為8560，8560，8480和8480，其加密結果可能有(34080)!個結果，如果每個像素的灰度有L種可能，采用窮舉法破譯密碼攻擊需要計算(34080)!×L34080次，成功破譯密碼的概率幾乎為0。

7．2 加密算法的統計測試

圖像的直方圖是圖像的重要統計特性，它可以看作是圖像灰度密度函數的近似。由圖2可以看出，通過TD-ERCS混沌系統加密后的圖像的灰度直方圖在像素值0～256范圍內類似與均勻分布，說明加密系統的對統計分析有很好的魯棒性。

圖2 原始圖像和加密后的圖像的灰度直方圖

相鄰像素相關系數［10］能夠反映圖像相鄰像素間的相關程度。相關性越大，圖像置亂效果就越差。隨機選取圖像中1600對相鄰像素計算其相鄰像素相關系數。表 1為種子參數為(0．4256，0．7130，0．5246，2)加密方案時水平、垂直和對角三種情況的相鄰像素相關系數。由表1可以看出加密圖像有效的破壞了原始圖像的相鄰像素的相關性，算法的置亂效果非常好。

表1 原圖與密圖的相鄰像素相關系數

7．3 密鑰的敏感性測試

為了測試算法對密鑰的敏感性，采用文獻［11］的測試方法對算法進行仿真實驗。利用種子參數為(0．4256，0．7130，0．5246，2)的 TD-ERCS 系統對原始圖像加密，并分別利用(0．42559，0．7130，0．5246，2)，(0．4256，0．71299，0．5246，2)，(0．4256，0．7130，0．52459，2)，(0．42559，0．7130，0．5246，4)作為密鑰解密。圖3(a)為使用密鑰為(0．42559，0．7130，0．5246，2)對圖 1(c)的解密結果，圖 3(b)為使用密鑰為(0．4256，0．71299，0．5246，2)對圖 1(c)的解密結果，圖3(c)為使用密鑰為(0．4256，0．7130，0．52459，2)對圖 1(c)的解密結果，圖 3(d)為使用密鑰為(0．42559，0．7130，0．5246，4)對圖 1(c)的解密結果。由圖3可以看出，TD-ERCS系統的種子參數發生微小的改變，由此解密的圖像完全不能看出原圖的輪廓，算法具有高度的敏感性。

圖3 不同的密鑰解密圖1(c)的解密結果

7．4 算法的抗噪聲測試

數字圖像在傳輸過程中可能會受到噪聲攻擊。噪聲攻擊分為很多種，實驗中常用的有高斯噪聲、椒鹽噪聲等。為了檢驗算法的魯棒性，分別對加密圖像添加密度為1%的椒鹽噪聲和高斯噪聲。圖4(a)為加1%椒鹽噪聲的原始圖像，圖4(b)為加1%椒鹽噪聲加密圖像解密后的圖像。圖4(c)為加1%高斯噪聲的原始圖像，圖4(d)為加1%高斯噪聲加密圖像解密后的圖像。從實驗的結果可知，加1%椒鹽噪聲原始圖像解密后的圖像能夠很好地恢復原始圖像，而對于加1%高斯噪聲的原始圖像，它已經丟失了原始圖像的大部分信息，解密后的圖像也不可能恢復原始圖像的信息。從實驗的結果可知，本文的算法對椒鹽和高斯噪聲有很好的魯棒性。

圖4 對加密圖像添加高斯和椒鹽噪聲實驗

8 結束語

TD-ERCS混沌系統是一種高度復雜的非線性動力系統，具有對初始條件非常敏感的特性，由它產生的混沌序列具有很好的隨機性。本文提出一種基于TD-ERCS混沌系統和提升小波相結合的數字圖像加密方法。該方法首先利用提升小波對數字圖像進行二維分解，然后利用混沌映射對分解系數進行置換，通過對數字圖像提升小波分解系數的置亂實現數字圖像的加密。通過計算機仿真表明，該方法對數字圖像加密具有較好的隱藏效果，并且對椒鹽和高斯噪聲攻擊有很好的魯棒性。

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