數學課堂中教與學“擦肩而過”的現象研究——兼談PCK的利與弊

頓繼安

（北京教育學院 數學系，北京 100044）

1 問題的提出

美國學者舒爾曼（Shulman）1986年提出 PCK（Pedagogical Content Knowledge）理論，這一理論認為學科教師僅具有學科知識和教學知識是不夠的，必須能夠將學科知識與教學知識整合，也就是擁有特定內容，學生是怎么思維的，該怎么教的知識.PCK理論的提出源于傳統教師教育中學科知識與教學知識處于相互割裂狀態的情形，因此，一經提出就得到了教師教育研究者的高度關注，以PCK理論為基礎，數學教育研究者提出數學教學內容知識（MPCK），既關于某一特定的數學內容該如何進行表述、呈現和解釋，以使學生更容易接受和理解的知識.PCK理論強調教師能夠“用學生能理解的方法來表述學科內容的知識”，這對于教師占絕對控制地位的課堂有效性的提高至關重要.

然而，中國世紀之交啟動的課程改革提出“以學生為主體”，“轉變學生學習方式”的要求，中小學數學課堂更強調給學生思考、探究的機會，提倡教師的教要盡可能以學生在思考與探究中表現出的智慧與困難作為教學資源，實現教師的教與學生的學的有機融合.在這樣的背景下，中國中小學課堂教學實踐中遇到的突出問題就是教師的預設與課堂的生成的矛盾，而這一矛盾的產生經常帶來數學課堂中教與學“擦肩而過”現象的出現.像教師給了學生思考與探索的時間，但是當學生的探索與教師的預設不一致時，學生探索的方法和成果的潛在價值得不到珍視，學生的困難與問題也得不到分析和解決，此時教師教的活動并沒能有效地服務于學生學的活動，這里稱這一現象為教與學“擦肩而過”的現象.

研究表明，如果用PCK理論解釋教與學“擦肩而過”的現象就是教師缺乏“關于特定內容的教學知識”，但是，這種解釋將問題歸因于表面，不利于解決教師專業發展中的根本問題.

2 兩個案例

下面的兩個案例分別來自五年級教師和九年級教師，是研究者根據自身親歷的兩位老師的備課、上課和教師的課后研討過程所獲得的資料加以組織形成的.

案例1：最小公倍數（五年級）

授課教師背景：A老師，北京市中心城區某小學高級教師，區級骨干教師，教齡17年.

受A老師所在學校的邀請，研究者參與了A老師“最小公倍數”一課的研討活動，經歷了備課、上課、課后研討的完整過程.

備課時，研究者建議，最小公倍數的定義是計算最小公倍數的基礎，因此，定義得出后，不妨給學生一個探究的機會，讓學生先利用最小公倍數的定義求出兩個數的最小公倍數，然后教師組織同學一起總結規律，找到更加便捷的求最小公倍數的方法——因數分解法.

A老師接受了建議，決定嘗試一下.

上課時，在得到最小公倍數的概念后，A老師首先請同學獨立解決幾個求最小公倍數的題目：（1）[1, 7]；（2）[5, 6]；（3）[9, 15]；（4）[2, 8]；（5）[4, 9]；（6）[8, 12].

大約5分鐘后，A老師組織同學進行交流.

師：你們認為哪些題目最好算？

生（齊答）：第1題和第4題最好算.

師：怎么好算了？

生1：因為第1題中的1和7、第4題中的2和8有倍數關系，最小公倍數就是其中的大數.

師：我們發現了兩個有倍數關系的數的最小公倍數就是其中的大數，非常好.那么，比這兩個稍好算一些的呢？

生2：[5, 6]這兩個數是相鄰的，相鄰的數相乘就是最小公倍數.

生3：不僅是[5, 6]，[4, 9]=36，我認為如果兩個數互質，那么最小公倍數就是兩個數相乘.

師：我們又找到了一個規律，很好.[9, 15]這個題目你們是怎么算的？

生4：我用的是列舉法，先列出9的倍數：9、18、36、45，發現45也是15的倍數，最小公倍數就是各自的倍數，所以9和15的最小公倍數就是45.

生 5（主動舉手）：老師，我慢慢發現，這種題也有簡便方法，就是用最小公因數乘以大數：3×15=45……

師（打斷生5）：最小公因數？9和15的最小公因數是3嗎？

生5：哦，是用不是1的那個最小公因數.我驗證了，[8, 12]這個題目也行，它們（不是1的）的最小公因數是2，用2×12=24.

此時其他同學沒有反應，A老師評論道：哦，你的發現挺好，但是對所有數都能用嗎？下課你再研究研究.下面我們一起來看怎么求這種情況下的兩個數的最小公倍數.

接下來，A老師向同學介紹了求最小公倍數的因數分解法.

下課后，研究者（記為D）對A老師進行了訪談：

D：你感覺怎么樣？

A：開始感覺挺好的，沒想到學生說得這么好，但生 5說出她的方法后就有點亂了.

D：你怎么看生5的方法？

A：我也不知道她的方法對不對，不知道該怎么辦了！

D：我們來分析一下生5的方法.首先，她的發現適用范圍有限，比如，對于6、12就不適用；但是既然適用于[9,15]、[8, 12]，就一定有其道理，你看，對于[9, 15]=3×15，15顯然是題目給的，那3從哪里來的？從9中出來的，可是9中有兩個3（9=3×3），為什么只給了最小公倍數1個？另一個哪里去了？“藏”在15中了.這樣，生6的發現是不是就有一般意義了：任意兩個數求最小公倍數，一個數做因數，另一個數中比這個數“多”出來的因數也是最小公倍數的因數，這不就是因式分解求最小公倍數的原理嗎？

A：哦！原來是這樣，以前上課從沒遇到過這種情況，就不知道怎么處理了.

案例2：圓周角定理（九年級）

授課教師背景：B老師，北京市某郊區中學一級教師，校級骨干教師，教齡7年.

“圓周角定理”是指：一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半，如圖1所示∠BOC＝2∠BAC.

圖1 圓周角定理

備課時，B老師通過問卷進行了學生調研，在回答“在與圓相關的計算和證明中常常需要添加輔助線，對于添加輔助線你有什么經驗”的問題時，全班26名學生，有18名同學提到了“添加半徑”.B老師分析道：學生的經驗是添加半徑、構造等腰三角形，但是這個定理的證明要添加直徑（引自B老師的教學設計）.

添加直徑是教科書上的證明方法：

按照圓周角與圓心的關系分為3種情況（如圖1所示）.

在圖1（a）中，∠BOC是等腰三角形AOC的頂角的外角，所以：∠BOC=2∠BAC.

圖1（b）和圖1（c）中，通過添加直徑AD轉化為圖1（a）的情況即可.

課堂教學中，圖1（a）和圖1（b）的情況比較順利，但是面對圖 1（c）所示情況，學生普遍遇到了困難，不能完成添加直徑轉化為第一種情況的工作.此時，B老師做了引導，分析了圖1（c）和圖1（a）的關系，并連接了直徑，然而，仍有許多學生處于困惑中，于是 B老師用彩色的粉筆，又仔細地描出對應的角，引導學生與圖 1（a）進行比對，這時才有學生說“明白了”.

B老師在反思中寫道：

在證明的過程中，大多數學生都走了偏路.

最困難的就是圓心在圓周角外的情況了，學生似乎毫無辦法.即使有了前兩種情況做鋪墊，即使有的學生已經正確地添加了輔助線，但是仍然不能證出.于是我用彩色的粉筆，仔細地描出不同的角，原來這是一個作差的過程.有的學生恍然大悟了.定理雖然證完了，但是卻沒有時間進行定理的應用.

研究者在課堂中，觀察到了這樣一幕：生W面對第三種（圖1（c））圖形時，連接半徑OA，于是問道：“為什么連接OA？”

W解釋：這樣就得到了等腰△OAC.

問：構造等腰三角形有什么用呢？

W：就有等角了.

問：那接下來呢？

W：還沒想好.

接下來，由于 B老師開始集中講解，該生沒有再繼續思考下去，但是該生在證明二倍角關系的時候能夠聯系起等腰三角形，這種思路是合理的，是不是也能夠導致問題解決呢？研究者開始思考，得到了本題的另外一種證明方法.

因為△OAC是等腰三角形，∠DOC是頂角的外角，所以∠DOC＝2∠OAC.

而題目要得到的結果是：∠BOC＝2∠BAC，比較兩式發現左邊相差∠DOB，右邊相差2∠OAB，而這恰好是由半徑OA產生的等腰△OAB的頂角外角和底角，即∠DOB＝2∠OAB，于是問題得以解決.

課后交流時，研究者將自己的觀察與分析與 B以及在場的十幾位老師交流時，大家也都感到驚詫：圓周角定理自己教了許多年，一直按照教科書的方式證明，也都知道添加直徑是難點，但卻沒想過添加半徑也能夠證出，甚至是問題的本質，其實具體的證明方法真的不重要，真正的困難恰是學生不能從自己的已有經驗和題目的具體特點出發，通過不斷分析、調整、搭建題目條件與結論間的橋梁，直至解決問題的過程——從這個意義上看，B老師的教與學“擦肩而過”了.

3 對案例的分析

上面的案例中，教師 A的課堂出現的是教師從未遇到過的“意外”.導致這種意外發生的原因在于教師預先不知道學生面對最小公倍數這一特定問題會怎樣思維，用 PCK理論解釋就是：教師 A缺乏關于特定內容的教學知識，如果有了這種知識，A老師就能夠更好地組織教學，避免教與學“擦肩而過”現象的發生.

顯然，與A老師不同的是，B老師遇到的是自己預想之中的情形：對學生的調查和 B自己的經驗都表明學生可能會添加半徑做輔助線，做等腰三角形.也即 B具有關于圓周角定理這一特定內容學生是怎樣思考的知識，但是，B卻沒有看到學生的方法的價值.原因在于 B認為“這個定理的證明要添加直徑”，其潛臺詞就是“添加半徑是解決不了問題的”.所以，B沒有對學生的思維進行分析的原因不在于其缺乏的“學生是怎樣思考的”知識，而是對圓周角定理的證明方法還有哪些，添加直徑這種證明方法與學生經驗中添加半徑的方法的關系是怎樣的缺乏思考和認識——這本質上是學科性知識，這種知識的缺失導致了 B的課堂中出現了教與學“擦肩而過”的現象.

實際上，如果進一步比較B老師課堂上生W的表現與A老師的課堂上生5的表現，可以發現兩者之間具有很大的相似性.生5和生W在探究的過程中，首先發揮作用的是自身已有經驗或者直覺——而這也是數學研究工作者面對問題時自然會產生的思維活動.如果再繼續對經驗或直覺進行批判性分析，也許就能夠找到解決問題的路徑，會發現自己的錯誤，而批判性分析在揭示了錯誤原因的同時，還可能成為新的發現源泉，就像前面對生5的方法的分析那樣.

從這個意義上看，盡管表面上 A老師的課堂表現是由于出現了“意料之外”，在于不了解學生面對“最小公倍數”這一特定知識是如何思考的，但是根本原因在于 B老師的學科性知識的缺失.事實上，過于強調“特定內容的思考方式”是不利于問題解決的.數學知識浩如煙海，學生的思考方式更是五花八門，即使是同一個想法也可能會有不同的表現形式，即使有了幾十年的教學經歷仍然不能窮盡所有的情形.以學生的思考、探索為基礎的課堂總會出現“意外”，因此，“特定內容的教學知識”不應該是影響其課堂決策的根本原因.從根本上看，解決 A老師問題的關鍵仍然在于發展數學學科性知識，不是擴充數學知識的數量，而是提高學科知識的質量，把重點放在提升教師對數學知識的產生過程的認識，幫助教師體會數學研究者面對問題的探究、思考方式的特點.

4 結論與討論

在以學生的思考、探究為基礎的數學課堂上，教師的教與學生的學出現“擦肩而過”現象的原因在于教師沒能讀懂學生的方法的潛在價值.要想解決這一問題，可以根據PCK理論，補充教師的關于特定內容的教學知識.按照這一策略，需要梳理中小學數學所有內容的教學知識，建立中（小）學數學PCK知識庫，作為數學教師培訓的內容之一——這是一項浩大的工程，目前也正成為中國學者關于PCK研究的熱點.

但是，PCK理論中對“特定內容的教學知識”的強調存在著明顯弊端.一方面，如上所述，依靠“窮盡各種可能”的方式面對充滿活力和變數的學生探索過程是充滿風險的.更為重要的是，強調“特定內容的教學知識”忽略了問題的本質，忽略了面對不同“特定內容”的探索和學習過程中的共性，忽略了教學中出現的問題的表層原因與根本原因的關系.這勢必會導致張奠宙等批判的現象的出現：“數學教師培訓的內容越來越泛化，只談怎么教，無關教什么.”正如前面的分析，與特定內容的教學知識相比，教師的學科性知識的質量是導致課堂中出現教與學“擦肩而過”現象的更為根本的原因.因此，解決問題的根本途徑應在于提高教師的數學學科知識水平，特別要重視數學學科性知識中的方法性知識.即，讓老師們了解數學學科領域中知識的產生方式，數學研究者面對問題的探究、思考方式.

[1] 童莉.數學教師專業發展的新視角——數學教學內容知識（MPCK）.數學教育學報，2010，19（4）：23-27.

[2] 董濤.PCK研究回朔與對教師教育的意蘊——以數學學科為例[J].曲阜師范大學學報，2009，（4）：121-124.

[3] 楊小麗.我國學者關于數學學科的PCK研究綜述及對教師培訓的啟示[J].北京教育學院學報（自然科學版），2010，（6）：48-52.

[4] 頓繼安，張曉華.學科教學中漠視與低估學生的現象亟待關注[J].中小學管理，2008，（5）：28-29.

[5] 李善良.我國高中數學課堂教學過程的演變與評析[J].數學通報，2010，（2）：19-23.

[6] 張奠宙，趙小平.教什么永遠比怎么教更重要[J].數學教學，2007，（10）：封底.