培養兒童空間認知能力的有效途徑探究——以拆拼孔明鎖為例

許世紅，黃毅英

（1.廣東省教育研究院，廣東 廣州 510030；2.香港中文大學 課程與教學論系，香港）

1 學校教育中培養學生空間認知能力的背景簡介

李洪玉和林崇德認為，空間認知能力是指人們對客體或空間圖形（任意維度）在頭腦中進行識別、編碼、貯存、表征、分解與組合、抽象與概括的能力，它主要包括空間觀察能力、空間記憶能力、空間想象能力和空間思維能力等因素.在完成空間任務的認知過程中，空間想象能力起著重要的橋梁作用，而空間思維能力則起著決定性的核心作用[1].

2002年中國進入第八次基礎教育課程改革，在設計培養學生空間認知能力的載體時，學習內容由過去集中安排在高一的立體幾何，調整為現在從小學、初中至高中均安排空間知識的學習，其中一至三年級主要學習常見立體圖形的識別與分類、方位的辨別與描述、感知圖形的平移、旋轉與軸對稱；四至六年級在深化已有知識的基礎上，增加常見立體圖形的平面展開特征、辨認從不同方位看到的物體的形狀和相對位置、了解體積的意義及常見立體圖形體積的度量方法；七至九年級則在深化已有知識的基礎上，增加了視圖與投影.十至十一年級則增加了立體幾何初步與空間解析幾何初步.那么，在各年段，空間認知能力的培養主要有哪些有效途徑？

田中和戴洪萍利用一年級（下）數學教材（江蘇教育出版社的《九年義務教育新課程標準實驗教科書》）上的某單元頭圖引導學生用一位數乘一位數的方法計算 3排房子一共有幾扇門和幾個花壇這一問題設計測量工具，測量和分析幼兒園中班、大班和小學一年級兒童的空間認知和推理能力，得出4～7歲兒童在空間認知與推理能力的形成上，仍然是自然成熟和教育影響共同起作用，這一階段的兒童對空間的認知和推理出現的錯誤主要是因生活經驗和學習經驗的不足而導致，而這方面學校教育和家庭教育可以給予兒童很大幫助[1].許燕和張厚粲研究顯示，空間能力在小學二、四、六年級均未出現很大的性別差異，男生在空間能力上的優勢表現為隨年齡增長而縮小并消失的特點.林崇德研究表明：從初二開始男生的空間認知能力發展平均水平高于女生，但到高一以后，男生的快速期己結束，男女生的空間認知能力水平趨于接近.周江霞等則系統介紹了近80年來學界對認知方式和空間認知能力之間關系的各種研究（并側重以中學生為例進行分析），這些研究均認為，幾何能力與空間認知能力密切相關.不同的中學生認知方式有所不同，空間認知能力也因人而異[2].上述各種研究較少從實證的角度探討如何提升學生的空間認知能力.

在學校教育中培養學生的空間認知能力，主要途徑是學習空間知識、解答相關空間問題；但學習空間知識的經驗更多需要在觀察、動手操作、試驗、驗證等活動中積累并完善.尤其在小學階段，空間知識的學習更需要借助實物開展，空間觀念的形成更需要實物的操作來輔助.

游戲與玩具常可以促進數學學習，尤其對那些恐懼數學學習者，往往有奇效[2].人生而有玩性，玩具是滿足人玩性的工具.一個成功的玩具要有兩方面的基本要求：一是好玩，即娛樂性；二是可以鍛煉人的某項能力.立體玩具尤其能夠鍛煉人們的空間認知能力.Dienes認為數學概念的形成可以通過“自由玩耍，有規律的游戲，尋找共同結構，描述或圖示，符號化，形式化”這6個階段形成[3].黃毅英認為空間認知能力的建立同樣也可以用這個六階段理論加以解釋，并進一步概括為“接觸與自由玩耍，立體數學游戲，從立體模型中認識空間關系，親手制作立體模型，從平面圖處理立體問題，無需繪圖單從文意處理立體問題”[4].那么，兒童在用立體玩具做游戲的過程中，其思維特點是什么？思維障礙在哪里？如何抓住思維關鍵，幫助兒童有效地建立立體概念？養成良好的思維習慣？

2 兒童拆拼兩種孔明鎖的過程實錄

孔明鎖又稱“魯班鎖”，民間傳說由三國時期諸葛亮設計，也有傳說是由戰國時期魯班設計.傳統的孔明鎖玩具部件是用原木制成的若干根長短粗細相同的木條，這些木條可以利用內部的凹凸部分（即榫卯結構）相互制約組合而成（如圖 1）.現代改良后的孔明鎖玩具部件則是艷麗的彩色塑料條（如圖 2），更能夠吸引兒童的注意力，而且拆拼難度有所降低，較適合新手練兵.

圖1 傳統孔明鎖

圖2 塑料彩色孔明鎖

作為三維的拼插玩具，孔明鎖具有如下特點：（1）部件間的凹凸結構往往只能按照固定的方式結合，部件間的嚙合十分巧妙；（2）拼好后，從外部看不到部件的凹凸結構；（3）玩具易拆難裝.

2.1 案例1——拼裝彩色孔明鎖

小貝是一名即將進入四年級學習的小學生，她對動手拼裝玩具有較濃的興趣，有著較長的搭建積木房子（游樂園、著名建筑）的經驗，也學過恢復魔方6個面的基本方法.在暑假期間，母親購買了系列的立體解套類玩具供她玩耍.

階段一（拆玩具）.小貝從拆孔明鎖開始.經過摸索，她首先把綠色部件（簡稱綠條，下同）抽出來，然后把黃條拿下來，其它依次是紅條、白條、橙條與藍條.由于這 6個部件的結構與顏色都不相同，她除了記得綠條是第一個抽出來的外，其它部件都混淆了.

階段二（熟悉部件結構）.小貝把綠條放在一邊，然后嘗試找出兩條拼成十字形，然后加一條拼成三維形式，但嘗試了很多遍，都失敗了.這時，小貝重新把六根塑料條排在一起觀察（圖 3–1），發現橙條、紅條、藍條的凹凸部分相對復雜，于是就集中精力研究這 3根塑料條（圖 3–2）.進一步觀察，小貝又發現，其實紅條與藍條結構相同，只是互相對稱（圖 3–3），于是她進一步縮小嘗試范圍，研究紅條與藍條怎樣榫合，才能把橙條插入紅藍結構中以構成合理的三維框架.

圖3 分析結構

在不斷嘗試的過程中，小貝又發現紅條、藍條的凹凸部分也具有旋轉對稱性，這時，她關注的重點已經從塑料條的顏色轉到其結構上.

階段三（拼出玩具，并探索出兩種方法）.經過反復試驗，小貝發現，當藍條豎著放時，紅條水平放在藍條的后面（如圖4–1）；這時左手拿住這個藍紅十字條，右手把橙條水平插入（如圖 4–2）；接下來的步驟就比較容易了，依次把白條、黃條從右邊、前面插入相應的空位（如圖4–3、圖4–4），最后插入綠條，六合榫就拼裝完成了.此為方法一.

圖4 小貝的方法一

由于紅條與藍條結構一致，小貝發現，當紅條豎著放時，藍條水平放在紅條的后面（圖 5–1）；這時右手拿住這個藍紅十字條，左手把橙條水平插入（圖 5–2）；接下來的步驟同前，依次把白條、黃條從左邊、前面插入相應的空位（如圖5–3，5–4），最后插入綠條，完成六合榫的拼裝.此為方法二.

圖5 小貝的方法二

這一研究過程持續了一個星期.

階段四（歸納方法并教母親拼裝）.小貝學會拼裝這種簡單的孔明鎖后，非常高興，母親請她給予指導，她邊教邊總結，最后歸納出以下3個要點：（1）拼的關鍵在于擺好紅條與藍條的相對位置；（2）組合紅條與藍條時，必須讓即將構成的方形孔位于正中間；（3）方法一適合右撇子（即右手靈活的人）使用；方法二適合左撇子（左手靈活的人）使用.

階段五（跟蹤研究）.小貝在教母親拼裝的時候，母親又發現了其它的拼裝順序，如圖6.這個拼裝法其實與小貝的方法二是一致的.但當母親問小貝這種拼裝法與她的方法有沒有什么不同時，小貝沒有興趣再探索了，她說，既然能夠拼出來，當然也算一種方法，至于與我的方法有什么不同，你去研究吧.

圖6 母親的方法

2.2 案例2——拼裝木色孔明鎖

九柱孔明鎖部件如圖7，其拼裝更具有挑戰性.小貝首先要從中選出6根完成六合榫的拼裝.

階段一（看圖紙拼玩具）.這個玩具的難度大了很多，因此小貝必須借助說明書來研究.小貝首先給 9根木條編號，再取編號自4到9的木條，按照圖示逐步拼裝了5根木條（圖8（1）～8（4）），最后一根木條的拼裝方法則在母親的幫助下完成（圖8（5）～8（7））.

圖7 九柱孔明鎖的部件

圖8 根據說明拼裝六合榫

雖然小貝勉強拼裝好六合榫，但她覺得這個玩具太難了，因此不太感興趣，于是把它放在了一邊.

階段二（拆玩具）.過了幾日，母親提醒小貝研究這個玩具.這時，小貝已忘記拼裝方法.而她對看說明書不感興趣，于是動手嘗試解開這些木條.

小貝先觀察木條的結構，發現木條4與5、木條6與7、木條8與9各平行相鄰.經過摸索，她終于把孔明鎖拉開成兩個十字架水平錯位重疊的形式（如圖8-6），這時，木條5掉出來；小貝把木條5放在一邊，再把兩個十字架完全重疊，這時一不小心，剩下的木條全散開了.她除了記得木條 5是第一個拿出來的外，其它木條的拆開順序都混淆了.

階段三（熟悉部件結構）.小貝把6根木條依次兩兩一組排列，希望比較其結構來發現拼裝線索，如圖9.但她覺得太難，又想放棄.

圖9 研究木條結構

階段 4（拼出玩具）.這時，母親開始給予幫助.有了拼裝塑料孔明鎖的經驗，小貝知道要先拼出一個立體十字架.由于木條5是最后加入，木條4與5平行，因此，木條4應該構成立體十字架的豎軸，現在的關鍵是構建合適的水平十字架.

小貝覺得木條9比較獨特，因此選擇嘗試用木條9與木條6或7組建水平十字架.在反復試驗的過程中，用木條4來檢驗構建的水平十字架是否可行.經過比較，小貝用木條9與7完成了水平十字架的拼裝.

接下來，小貝在豎直方向上加入木條4，然后按照配對的結構，依次把木條8加入到與木條9平行相鄰的位置，把木條6加入到與木條7平行相鄰的位置.最后，加入木條5，完成拼裝（如圖10）.

階段 5（歸納方法）.小貝經過拆與拼的反復操練，對這個木色孔明鎖的結構已經有了很清晰的認識，但是，對于為什么要這樣設計每根木條的凹凸結構覺得很困惑，而要想弄明白這個問題，難度也超出了她目前的能力.小貝歸納出拼裝這個孔明鎖的4個關鍵點：（1）把木條編號；（2）木條可以分成3組；（3）拼裝關鍵是用木條7與9搭出水平十字架，再加入木條4構成空間十字架；（4）木條的凹凸部分沒有完全填滿，所以可以適當拉開一定空隙，插入木條[5].

另外，用7根、8根、9根木條拼裝孔明鎖的程序與上述方法類似，小貝在母親的引導下，也學會了拼裝.

圖10 拼裝好的俯視圖

3 8–10歲兒童解答立體玩具的思維特點

小貝是一名智力正常的9歲女童，分析上述兩個案例，結合身邊同年齡段兒童搭建積木、拼裝立體玩具的過程，可以發現8–10歲年齡段兒童空間認知能力構建與發展的一些基本特點.

3.1 對色彩鮮艷構造簡潔的立體玩具感興趣

小學中年段學生既喜歡比較生動直觀的玩具，也希望玩具的玩法能夠具有智力挑戰，因此色彩鮮艷的立體拼圖或拼裝類玩具符合該階段兒童的審美意識，也符合其心理需求，能夠引起兒童玩耍的興趣.另外，在拼裝初期，彩色部件可以幫助兒童盡快發現玩具結構的特點或拼裝規律，適當降低拼裝難度，也有利于兒童盡快熟悉相關的玩法，幫助兒童保持較長的探究興趣.

3.2 喜歡自主動手操作

這一階段的兒童具有一定的獨立意識，希望獨立完成游戲.由于玩具是實操性的，兒童在動手拆拼的過程中不斷嘗試各種解決問題的渠道，也不斷熟悉玩具各個部件的結構特點與組合方式，其觀察能力、記憶能力、想象能力和思維能力等都得到鍛煉，空間認知能力也就逐漸形成.

3.3 按先顏色后結構的思維規律拆拼立體玩具

在兒童拆拼立體玩具的初始階段，顏色輔助兒童較好地區分出各部件及其拆拼順序.但是，當兒童逐漸熟悉了各部件的結構特征后，顏色的作用就逐漸淡化了，兒童更多地從部件的結構特征上思考各部件間的多種可能組合方式，不斷觀察這些組合方式間的差異，通過比較，選擇出適當的拼裝組合，最終獲得解決問題的方法.

3.4 能夠借助有條理的方法從正逆兩個方向探索并總結解決一類問題的程序

立體玩具的拆與拼是正向思維與逆向思維的具體體現.兒童在拆玩具的時候，仔細觀察玩具各部件的組合方式，并記下其組合順序；在拼玩具的時候，就可以將拆的過程逆向運用到拼的過程中，從而節省了探索拼裝的時間.

這種思維方法不僅對這一階段的兒童適用，而且對更高年齡段甚至成人也是一條非常有效的解決問題的方法.

3.5 對空間坐標系有直覺感知

雖然這一階段的兒童沒有平面坐標系、空間坐標系的知識，但是，由于人們生活在三維空間，基于生活經驗，兒童知道平面與空間的差異.在小學低階段，學校中也滲透了正方體、長方體、球等立體圖形的直觀認識，因此，兒童在拼裝立體玩具時，對空間坐標系有直覺感知，經過反復的拆與拼，逐漸認知到拼裝立體玩具的關鍵是先搭建一個適當的空間十字架.

這一點也充分說明，立體玩具對兒童空間認知能力的形成具有至關重要的作用.

3.6 不習慣閱讀說明書中的立體示意圖

雖然兒童在動手拆拼玩具的過程中體現出對空間觀念本質的感受是非常準確的，但是他們在空間方面的專業知識還是極其有限.立體圖形的平面示意圖把直觀的空間模型轉化為抽象的平面形式，又伴隨著相關說明，往往顯得很復雜，立體玩具部件中的組合也不容易讀懂，因此，不到萬不得已，兒童往往忽視玩具中的配套說明書，而選擇在動手拼裝中探索組合規律.

這一點也說明，對于兒童而言，立體圖形的平面示意圖的閱讀需要成人的引導與幫助.一旦兒童逐漸適應了閱讀立體圖形的平面示意圖，那么當他們在學校正式學習立體幾何課程時，就比較容易克服圖形方面直觀錯覺的誤導，能夠更順利地開展學習.

4 對學校開展立體知識教學的啟示

過去，高中生通常在學習立體幾何時遇到很多困難，一個主要原因是學生缺乏空間觀念，因為他們在成長早期很少從事或參與立體物的玩耍與研究[6～7].中國自2002年啟動基礎教育課程改革以來，在空間認知能力培養方面，學校已經從兒童成長早期介入，引導學生動手制作常見的立體圖形，取得了較好的教學效果.但在利用立體玩具開展教學方面，積累的資源與案例均很有限，常見的魔方、魔尺興趣小組，也往往是以學生社團的方式出現，教師有目的組織的不多.

對于兒童而言，空間認知能力的培養往往開始于玩弄各種立體玩具.例如孔明鎖，其拼裝雖然有難度，但結構簡單，因此比較適合兒童.兒童在拆拼立體玩具的過程中，通過觀察、操作，不僅直觀識別、區分、發現各部件之間的結構特征與對稱性，還可以認識各部件的相對位置與組合方式，并學習用上、下、左、右、前、后描述各部件的相對位置，嘗試從不同角度尋求拆拼方法，了解不同方法間的差異.在這一過程中，兒童不僅積累了解決這類問題的方法，養成良好思維習慣，初步建立起空間觀念，還發展了合情推理與演繹推理的能力.特別地，兒童在拼裝立體玩具的過程中，體驗獨自克服困難、最終解決問題的過程，增強了克服困難的勇氣與信心.因此，拼裝立體玩具是培養兒童空間觀念的有效途徑，教師在學校中，應適當組建這方面的興趣小組，引導兒童在玩中學，體驗玩數學的樂趣.

[1] 李洪玉，林崇德.中學生空間認知能力結構的研究[J].心理科學，2005，28（2）：269–271.

[2] 田中，戴洪萍.4～7歲兒童空間認知和推理能力的測試研究[J].數學教育學報，2007，16（11）：35–41.

[3] 周江霞，張景斌，周珍.認知方式與空間認知能力的關系研究評述[J].數學教育學報，2007，16（8）：68–71.

[4] Bell F H. Teaching and Learning Mathematics in Secondary Schools [M]. Wm C Brown Company, 1978.

[5] Dienes Z P. Building up Mathematics[M]. London: Hutchinson Educational Ltd, 1971.

[6] 黃毅英.立體數學游戲與空間想象力之訓練[J].數學傳播，1990，（56）：78–96.

[7] 吳躍忠，葛鴛鴦，莫雷.不同認知水平的解答編碼對數學公式學習的影響研究[J].數學教育學報，2011，20（3）：30–33.