算法化視角下中學數學教學內容的知識分析

徐章韜 ，陳 矛

（1．華中師范大學 數學與統計學院，湖北 武漢 430079；2．華中師范大學 國家數字化學習工程技術研究中心，湖北 武漢 430079）

1 引 言

實驗、理論和計算是科學研究的3大手段．實驗是發現、驗證理論正確與否的重要手段，同樣的，計算不僅僅只是作為驗證理論模型的正確性的手段，大量的事例表明它已經成為重大科學發現的一種重要手段[1]．為了保證計算的合理性，計算的有效性，必須充分理解算理和算法之間的內在關系．算理是客觀存在的規律，算法卻是人為規定的操作方法；算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了可行的操作方法，提高了計算的速度；算理是算法的理論依據，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經過算法實現優化，它們是相輔相成的．如，阿基米德的計算幾何量的算法，既有計算方法，又有嚴謹的算理．M·克萊因曾指出：“一切有次序的形式運算歸根結底都是一種算法．特別來說，字母運算是一種算法．我們一再強調，算法在科學發展過程中一直起著極為重要的作用．它作為半獨立的力量，由公式本身的規律推動其前進，并不取決于數學家的意圖和認識，甚至往往相反．在無窮小分析初創時期，正如我們以后將看到的，算法往往強行推出新概念和新運算，后來才被人們所公認．甚至在數學發展水平到了很高的階段時，算法研究還能起到很有效的作用，而且事實上也是如此，所以我們有理由稱其為數學發展的基干．”[2]現代意義上的算法，不僅僅限于數值計算，通常是指可用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序和步驟必須是明確的和有效的，經過有限步驟后能完成．作為體現時代特點的算法已經成為中學數學的重要教學內容．算法具有多種教育價值[3]，算法學習的最高境界是具有算法化的眼光．誠如弗賴登塔爾所說，學生學習數學是再創造數學化而不是數學，抽象化而不是抽象……算法化而不是算法[4]．顧泠沅先生指出，就數學學科本身的特點來說，中西方的差別也非常值得注意，這對建立中國特色教育理論不可或缺．……吳先生所說的兩種思維各具特色，一直發展到當代公理化與算法化的兩大分野．兩種思維、兩大分野的融會，也許能為數學教育新體系的建立提供思路．內容是把數學課程與其它學科課程區別開來的決定因素，因此對內容及其變化的研究應該成為數學課堂教學研究不容忽視的一個方面[5]．具有算法化的眼光，學會從算法化和算理化的角度解讀中學數學教學內容，作深入的知識分析，有助于理解數學之兩翼的算法和演繹之間的辯證關系，有助于獲得對數學知識的深層理解，拓展數學學科知識，獲得較高的觀點．如，通過算理與算法并重；注重算法和算理的探索過程；注重算法多樣化、優化和通性通法的歸納，可以改進計算的教學，發展學生的運算能力[6]．下面分別從算法化和算理化的視角解讀中學數學教學內容，打開教學內容中所蘊藏的深刻內涵，體會數學的內在本質特征，并期望這種知識分析的工作能為教師深層次地把握學科內容的特點、解讀教材提供概念框架，為教師的專業發展提供底層的技術支持，發展教師面向教學的數學知識．

2 知識分析的案例

一部數學發生、發展的歷史，就是以邏輯為基礎的演繹證明體系與算理算法為基礎的運算體系互為影響、互為補充、各領風騷和反復消長的歷史．中國傳統數學在從問題出發以解決問題為主旨的發展過程中，建立了以構造性與機械化為其特色的算法體系，這與西方數學以歐幾里得《幾何原本》為代表的公理化演繹體系正好遙遙相對．隨著計算機的廣泛應用和進一步地發展以及數學研究對象的不斷擴大，算理和算法的重要意義將日益顯現出來．要求學生具有算理化法和算法化的思維模式理應是數學教育的重要目標之一．

2.1 算 法 化

有條理地思考和行動，能構造性地解決問題，問題的解決策略最好能筑基已解決的問題之上，拾級而上．

作為計算核心的算法，是現代數學的某本概念之一．算法是算理外顯于行為的、具體的、有序的活動步驟及操作過程．算法化是指具有算法的思維方式，能按算法的要求有條理、符合邏輯地思維和行動，具有把復雜問題的解決轉化成一系列有序的、有限的、前后相依的步驟的意識和能力．

案例1 代數問題解決中有序的思維方式

在解決有關無理數的問題時，人們習慣于構造有理數數列逼近無理數；在無理式與有理式的轉化中，還形成了一句膾炙人口的口訣“分子有理化、分母有理化”，分式問題整式化；在解決無理式與有理式的轉化中，人們總是設法化“無理”為“有理”，具體地可以是兩邊平方法、換元法、討論法、圖象法等．在解決某些特殊類型的超越方程、不等式時，人們總是設法化“超越”為“平常”，即分別把超越方程化為代數方程，超越不等式化為代數不等式，自然地，在轉化過程中要注意轉化的等價性和簡潔性，具體的做法可以是利用函數的單調性、換元法等．反三角函數與三角函數是一對互逆的概念，人們對三角函數研究得更為透徹些，更為熟悉些，在解決反三角函數問題時總是三角化．這些近乎是一套基本的程式，需要深刻領會，注重“基本套路”才是好數學教學[7]．

誠如李文林先生所說，所謂算法，不只是單純的計算，而是為了解決一整類實際和科學問題而概括出來的、帶一般性的計算方法……它們是一種歸納思維能力的產物，這種能力與歐幾里得幾何演繹風格迥然不同而又相輔相成[8]．用算法化的眼光看待上述種種做法，就可以歸結為兩個字：化歸！“化繁為簡”“化難為易”，就是化歸這種基本思想方法所生成的策略．這樣，就能理解數學科學展開的邏輯、問題解決的邏輯和教材編寫的邏輯了．知識可以編織成有序的思維鏈條，后面的知識是前面知識的拓展與演化，解決有關新知識問題的方法其實就蘊含在舊知識中，關鍵是要找到進退之法，故可以“以舊促進”“化新為舊”．夯實舊知識、吃透舊知識，尋求新知轉化為舊知的暢通渠道，機械化路徑，就是日常教學的重要任務之一．當新知識成了舊知識時，發展便產生了．

案例2 運算規則中有序的思維方式

各種運算的優先級別是不一樣的．乘、除的運算級別是高于加減運算的．在算術中，一般是先乘除后加減．乘方、開方的運算級別是高于乘、除運算的．非、且、或的運算級別逐漸降低．高級別的運算轉化為低級別的運算有助于理解運算的可行性．如，利用對數的運算法則可以把乘、除、乘方、開方運算分別轉化為對數的加、減、乘、除運算．這樣，不僅加快了計算速度，也簡化了計算方法，顯示了對數計算的優越性，有以簡馭繁之效．同樣的，冪的乘積運算可轉化為指數的加法運算，冪的乘方運算可轉化為指數的乘法運算．這些都體現了運算的可降級性．推而廣之，空間問題總可轉化為平面問題解決，高維問題總可轉化為低維問題解決．這是運算規則中內蘊的思想方法的活化應用．

在同級運算中，可用正運算定義逆運算，這體現了算法體系的和諧性．減法是這樣定義的：減去一個數等于加上這個數的相反數；除法是這樣定義的：除以一個數等于乘以這個數的倒數．對數運算是指數運算的逆運算，這些互逆的運算都可統一為基于運算的可逆性，挖掘其中的思想火花，人們還形成了一種名為“正難則反”的解題策略，反證法就是其中一種策略性方法．

數學具有逐級抽象的特點，不僅要注重具體的算法，更重要的是要尋求通性通法，歸納出更加抽象、更加綜合、更加一般化的算法．如群、環、域等抽象代數概念的發展，不管參與具體運算的元素為何物，只是研究由運算法則表達出來的抽象結構，開辟了全新研究領域和思維方式．代數學家們發現：明顯不同的邏輯結構通過類比可以得到一個很簡練的由公理構成的核心．如按結構的觀點，在某種意義下，加法和乘法是同構的，減法與除法是同構的．這樣，等差數列的研究方法及有關結論，完全可以類比到等比數列中去．這種舍棄對象本身屬性，只關注其中的代數運算本身的性質的觀點，使得中學數學研究對象——數（或向量）、式、方程、不等式、集合（或命題）、函數、圖形間有內在淵源了（數集間建立映射后可建立函數關系式，有些函數關系式可用解析式表達，也可用圖形表達，解析式取零值時，便成了方程，解析式何時取正值、取負值的問題便是不等式問題）．這樣針對不同的對象，可以“大膽猜想，小心求證”，類比得到一些結論和做法．這對教學及教學觀念的革新是有益的，數學注重“一招一式”，但不崇尚“一招一式”，追求普遍性、統一性和結構化是數學的本性使然．算法化的眼光使研究者超越具體而走向一般，走向結構整體．

案例3 演繹的幾何也能以算代證并更具操作性

笛卡爾曾指出，“一切問題化為數學問題，一切數學問題化為方程組，化為代數方程組，代數方程組化為一個方程，這一個方程我們就能解決．”基于這樣一種宏圖，一種不同于歐氏幾何的幾何誕生了．在平面上建立了直角坐標系之后，就可從方程的角度研究曲線的性質了；建立有關標架后，向量就是研究幾何圖形性質的有力武器了．不用標架，不用坐標系，張景中院士的面積法也是研究平面幾何的利器之一．沒有計算方法的介入，幾何行之不遠．在歷史上，自代數從幾何的束縛下解脫出來之后，不僅代數學獲得了長足的發展，也促進了幾何學的發展．相較于演繹法，人們更習慣于以數解形，以算代證，雖然反過來，可以以形促數，為數配形，使數更形象，更生動．

在小學，學生常常為各式各樣的算術應用題而頭疼；在初中，常常為形形色色的幾何證明而煩惱．當有方程之后，算術應用題的解法困難不攻自破了，當用代數的方法研究幾何之后，平面幾何證明的學習困難迎刃而解了．這里并不是說方程、代數的思維量更小些，而是說算法較演繹更具有操作性，算法使高深的科學走下神壇，面向普通的學生．希爾伯特的《幾何基礎》是現代公理化方法的開山之作，較之歐氏幾何更嚴謹，在其中曾給出了一類幾何問題的機械化解題方法．有學者認為，算法體現出來的邏輯化特點是繼形式邏輯和數理邏輯之后邏輯學發展的第三個階段．邏輯的特點是前后有序，如果邏輯的每一步具體可執行，邏輯就可以機械的執行，就成了算法了．演繹是從一些命題出發，按一定規則推演新的命題的過程；計算也不外乎是按一定的算法，從一些數、函數、命題等出發，按一定的規則得出新的數、函數、命題等的過程．在某種意義，計算也可以看作演繹，故而可以以算代證．這樣，尋找蕪雜中有序的思維模式，尋求研究方法的革新就是數學發展的一種進化方向了．

算法采用有限遞歸構造和有限非遞歸構造的問題解決策略，算法的每一步做什么具體而明確，前一步和后一步之間有內在邏輯關聯，不可隨便倒置．算法化的思維要求人們能有條理地思考和行動，要求人們能精心謀劃，能構造性地解決問題，問題的解決策略最好能筑基已解決的問題之上，一步一個腳印，拾級而上．這些是富于教育意義的，是培養心性、養成縝密思考方式的極好素材．

2.2 算 理 化

行動和思想同源同構，行動可以有序機械地實施，思想亦然，有序而自由地思考是數學教學的追求．

算理是算法的思維本質，算法是算理的外在表達形式，是避開了復雜思維過程的程式化的操作步驟．教學實踐表明，學生即使不明算理，也能學會算法．但是只知“列方程解算術題”、“建直角坐標系，用向量法解立體幾何題”并不是學習方程、向量的初衷．沒有對方程、向量等基本概念的深刻理解，不能認識到方程、向量概念引入之于數學的重要意義，雖能熟練操作，卻不能改進這些算法，并在此基礎上提出新的算法，也不能算學到了真功夫．理解遠不止于會計算[9]．明算理，識算理乃是第一位的．前蘇聯心理學家列昂節夫指出，內部活動與外部活動并不分離，內部活動和外部活動具有共同的結構[10]．內部心智活動外顯于一系列由操作組成的行動．真正地從算法化的視角對中學數學教學內容作深度知識分析，還應能深入到算理化的層面．

案例4 代數系統的擴張

帶有運算的集合叫代數系統．代數系統的基本通性就是努力保持其所具有的運算律，這是一條基本原則．如，在數系的屢次擴張中，起內在突出作用的是運算的封閉性．整數對除法的不封閉導致有理數的出現，有理數對開方的不封閉導致無理數的出現，正數對減法的不封閉導致負數的出現．負數不能開平方問題導致虛數的問現．由于虛數的出現，解決了n次多項式根的存在性問題，無需再擴大數系．又如，在指數概念的推廣中，為了保留正整數指數冪的運算性質，逐步形成了零指數冪、負整數冪、分數指數冪的概念．在擴大研究對象的同時，要盡可能多地保留原有的運算律，這是推廣數學概念的一個基本原則．

任何事物都有兩面性．作為代數系統核心的運算律也是如此．各種運算律都是對偶地出現的．如：減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，這是人皆共知的常識．從運算律的互逆性上生發新概念是一種常見的方法．如，已知底數和指數，求冪的運算就是指數運算，反之，已知底數和冪，求指數的運算就是指數運算的逆運算——對數運算．那么什么叫對數呢？這時，矛盾聚集在指數上，給其一個新名稱——對數．這正如在 MAB= 中，A叫被乘數，B叫乘數；而在，A≠0中，A叫除數，B叫商．道理是相通的．用這樣的方式講授新概念的發生，破除了數學知識的神秘感，使學生感受到了新知識生發于舊知識中，也起到以舊促新的作用．反函數的出現，補集的出現，命題的否定，負矢量的出現，無一不是追求運算律互逆的結果．更進一步，還可以發展到對偶的概念，通過某個對合算子，把一種概念、公理或數學結構轉化為另一種概念、公理或數學結構．正弦和余弦是對偶的，正切和余切是對偶的，射影幾何中的笛沙格定理指出點與直線是對偶的．利用對偶性，可使復雜的問題變得條理清楚，脈絡分明，能化難為易、化繁為簡．

張奠宙先生曾指出，數學不僅要講推理，更要講道理．推理，就是演繹，一步一步的；道理，則是推理后面的理由、理據．說理不一定非得以演繹的方式進行[11]．算法是可以機械式地執行，之所以如此，是由于算理被封裝了，算理和使用者之間不用直接接觸，故而，人們可以有口無心地誦讀“不管三七二十一”，而不必知道加法公理．然而，華羅庚先生在強調計算的同時，也強調“思想”對于學習和研究數學的重要性．他認為技術與思想是數學的兩個重要側重方面，后者應該較前者更重要[12]．數學課需不需要講授之法，研究者認為是需要的，這些根本之算理需要講授，這些“做”數學的基本法子，需要有條理、深入淺出地闡述出來．

案例5 數學對象之間的關聯

數學對象的不擴大，出現了一些新的研究領域和新的研究對象．對每個具體的研究對象而言，還具有一些新的運算律，一些新的概念相應于新的運算律而產生了．如，集合具有交、并、補3種運算律，命題具有或、且、非3種運算律，這些都不同于數的運算律，但又有類似的地方．“并”運算類似于“加法”，“補”運算類似于“減法”．在運算律的基礎上形成了交集、并集、或命題、且命題、非命題等一系列概念．又如，函數也具有加、減、乘、除等常見的四則運算，但僅這4種運算還不能構造一些函數，如 y = 2x+1，等等．這個函數并不是一個指數函數，它是函數的函數，是 u =x+1與y = 2u復合而成的函數．此復合函數遵循的是另外一種運算——復合運算．不管它遵循什么樣的運算律，歸根到底，還不失函數的三大要素，理解復合運算律就應從這3方面著手，并且還要對復合的過程逐層有序地分解，還其本來面目．數學雖然枝椏縱橫，但在擴張過程中還保持了算理的內在一致性．

另外，用任何對象都遵循一定的算理這個觀點來看待圖形（或圖象）的各種變換，使人們的眼界為之一亮．圖形（或圖象）的各種變換事實上也是一種運算．如：對稱變換、平移變換是合同（全等）變換，伸縮變換是相似變換．各種變換還可以復合．實數集與直線上的點集同構，都是有序、連續結構，點可變換成線，線可變換成面，面可變換成體．這時，“數”與“形”還有本質的區別嗎？沒有！有消元法，就有消點法；有面積法，就有行列式法．數與形可以結合，可以對等！當初笛卡爾的指導思想是建立一種普遍的數學，使算術、代數和幾何統一起來．舍棄具體對象的具體屬性，僅保留運算律，各種數學對象就可以統一起來了．如，拓撲學家眼中的正方形和圓就沒有什么區別，它們可以變來變去．這樣，代數獲得了不同的形式，幾何也用獲得了不同形式，正如可以用方程研究曲線，也可以用矩陣來研究變換，用群論來研究對稱．其中的道理是一樣的：用代數的方法研究幾何．

遷移是教育心理學中的一個重要概念，原有知識的可利用性、新舊知識的可辨別性是影響學習遷移的認知結構變量[13]．知識分析的目的就是要分析新舊之間的異同點及內在統一性，能讓學生在不同對象之間實現有序的遷移．平行遷移，平行推廣是容易的，難的是縱深推廣，縱向遷移．康德曾言，數學的本質在于自由．這讓初學數學的人有點望而生畏，數學就是“兩耳不聞窗外事”的數學家苦心孤詣的形式結果？明算理，就知道數學雖然有自由創造的一方面，但卻也不是天馬行空．有時，自由的思想，如混沌現象一樣，在淺層次上是雜亂蕪雜的，但在高一層次看，卻是有章可循的．明算理的目標之一，就是要讓思想、行為更加有序、更加有條理．現在，探究性學習這樣一種擬科學研究的學習方式進入了課堂，然則如何探究，如何有序的探究，體現有序而自由的思想，卻是需要進行教育教學研究的．“導而弗牽”等教育性理念雖有啟發意義，但還不能轉化為具體的教學措施，需要在教學實踐中發展具體性的技法．

3 知識分析的教育意蘊

對任何一門學科而言，存在相互聯系的3種意義：文本作者的原意；文本本身的意義；讀者領悟的意義[14]．與此相對就有3種人：知識的“生產者”，即數學家；知識的“傳播者”，即教師；知識的“接受者”，即學生．學生能否領悟數學家的原意，取決于傳播者是否完全無誤地再現了文本作者的原意，接受者是否反復體味了文本本身的原意．其中，教師對文本所作的知識分析對學生的影響是至關重要的．誠如 Lehrer所說，認知源于連貫性、接受性及真實性（合理性）的完美組合[15]．從算法化的視角分析中學數學教學內容，旨在溝通不同分支的數學之間的內在聯系，內在關聯性，看到數學內在和諧性，這曾經是法國布爾巴基學派的宏偉主張．在教學上，這種主張就是要求學生能夠學會有序地縱橫聯想，如，圓的性質能否推廣到橢圓？方程和不等式之間的異同點在何處？平面上的結論能否推廣到空間等．從算法化的視角分析中學數學教學內容，旨在使學生看到新舊之間有內在聯系，把新知識筑基于舊知識之上，找到認知的固著點，增強知識的可接受性．從算法化的視角分析中學數學教學內容，旨在使學生看到數學發展、成長之路徑的合理性，雖有時是在意料之外，細細想來卻著實在情理之中，如虛數的產生，等等．

北京大學老校長蔡元培早在1918年北大開學典禮上就曾倡言：“大學為純粹研究學問之機關，不可視為養成資格之所，不可視為販賣知識之所．”教學即是研究，而非現成知識技能的傳遞與訓練．作為學科教師的立身之基，首要的是基于自己經驗和知識對所教學科之“學科知識”進行再研究．但在目前，一提到教師培訓、業務研討，大家想到的都是數學教育的理念，數學教學的方法，而數學教學學科知識本身則受到冷落[16]．其實，對所教學科的深刻與靈活的理解是教師的基本功．對學科內容、學科本質以及學生應該學習哪些重要內容的深刻理解，決定著教學目標的取舍、教材及教學策略的選取、學生評價的內容與方法，直接影響著教師的教學實踐．研究者曾經表述過這樣的觀點，教育理念不一定外在于學科知識，學科知識也可以產生教育上的見解[17]．陶行知先生也曾指出，“我們要有自己的經驗做根，以這經驗所發生的知識做枝，然后別人的知識方才可以接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機體部分，即‘接知如接技’．”新舊知識間該如何“嫁接”，如何對學科知識作深度知識分析？這樣的分析棱鏡該取自哪個學科？求人不如求己，向學科本身“挖潛”應該是一條路子，希望通過基于學科根本特點的知識分析有助于教師擺脫知識表層意義的獲得，使教師獲得有關知識的深層意義，獲得教育教學上的見解，從而改進教學．

[1] 韓正之．通向完美的橋梁——數學方法論[M]．上海：上海交通大學出版社，2006．

[2] M·克萊因．古今數學思想[M]．張里京譯．上海：上海科學技術出版社，2009．

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[5] 黃榮金，李業平．數學課堂教學研究[M]．上海：上海教育出版社，2012．

[6] 徐彥輝．論數學計算及其教學[J]．數學教育學報，2011，20（4）：19-22．

[7] 章建躍．注重“基本套路”才是好數學教學[J]．中小學數學，2012，（3）：49．

[8] 李文林．數學史概論[M]．北京：高等教育出版社，2003．

[9] 原登慧，李俊[J]．理解遠不止于會計算[J]．數學教育學報，2011，20（1）：55-57．

[10] 阿·尼·列昂節夫．活動·意識·個性[M]．上海：上海教育出版社，1999．

[11] 曹廣福，葉瑞芬．例論非數學專業同樣需要數學思想[J]．數學教育學報，2009，18（3）：1-3．

[12] 徐利治口述．20世紀中國科學口述史：徐利治訪談錄[M]．袁向東，郭金海訪談整理．長沙：湖南教育出版社，2009．

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[14] 張華．我國普遍主義教學方法論：反思與超越[J]．全球教育展望，2009，（9）：8-15．

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[16] 李祎．學會追問“數學”——數學教師成長的重要階梯[J]．數學通訊，2011，（11）：1-4．

[17] 徐章韜，顧泠沅．面向教學的數學知識[J]．教育發展研究，2011，（3）：49-53．