二十世紀混合數學教科書的先河——《布利氏新式算學教科書》之考察

陳 婷，呂世虎

（1.蘭州城市學院 教育學院 基礎教育研究所，甘肅 蘭州 730070；2.西北師范大學 教育學院，甘肅 蘭州 730070）

中國翻譯的第一套經教育部審定通過的初中混合數學教科書，當屬由美國數學教育家芝加哥大學的喬治·布利氏（E. R. Breslich）教授編撰的《布利氏新式算學教科書》（Breslich’s General Mathematics）.該套教科書共 3冊，1920年起陸續譯出，由商務印書館出版.該套教科書的翻譯對當時中國初中混合編排教科書的編寫產生了重大影響，20世紀20年代中國自編的3套混合數學教科書都是在模仿此書的基礎上編撰而成.但它所蘊含的意義由于原始版本的珍貴而塵封在故紙堆中沒有得到相應的重視.文章通過對該套教科書的編寫背景、教科書提綱、體例特點的回顧，以便從中汲取有益的經驗和教訓，對今天的課程改革提供一些啟示和借鑒.

1 背景分析

20世紀初，在歐美掀起的數學教育改革運動中，廢棄了以形式陶冶說為基礎的分科主義的數學教育，倡導了融合主義（混合主義）的數學教育.其理由有以下兩點：第一，分科主義的數學是枯燥無味的、困難的，不符合學生的能力.第二，在對現實世界的問題進行數學地考察時，分科主義數學的作用非常有限，而融合主義的數學將發揮更好的作用[1].

在這種改革背景下，美國數學教育家、芝加哥大學的喬治·布利氏教授根據美國數學會“中學算學教授法須徹底改造”的建議，進行“數科融合教授”實驗后，于1906年打破幾何、代數、三角的界限，統一編寫了《布利氏新式算學教科書》[2].當時是這樣介紹此書的，“以學生的經驗心理為根據，由實驗推原理，自原理定證法，用圓周法以明代數幾何三角之關系，可以說是 20世紀中等數學教育的新作”[3].日本將此書譯為《數學新主義》，中國自1920年起陸續譯出該教科書，由商務印書館出版.第一編于1920年由徐甘棠譯，壽孝天校對；第二編于1922年5月由王自蕓譯，壽孝天校對；第三編于1924年8月由文亞文、唐楩獻譯述.供初中3個年級6個學期來使用，均為大三十二開本，封面樸實無圖案，印刷清晰、裝幀精美，書背印有書名、出版社.1923年1月經教育部審定，將此書作為中等學校及甲種實業學校算術科教學用書.教育部審定批語如下：“呈及不利氏新式算學教科書第一二冊，均悉查，是書獨開蹊徑，融合代數幾何三角各法，鋸元提要，會通發揮，憑人事相關之問題解滯澀易忘之公式，批隙道窮曲類旁通，能使學者造詣于算術之境可獲舉一反三之效，其去墨守陳規，僅據理論法敷設之舊籍，實不可以道里計，第二編所述幾何三角各題，隨事引證，不拘一格，極運用變化之理至若措詞之淺顯習題之結構條分比節允稱完備，譯筆亦復明朗修潔，準予審定作為中等學校及甲種實業學校算術科用書.十二年一月三十一日”[4].

2 教科書提綱

【第一編】

第一章 直線；第二章 加法減法；第三章 方程；第四章 角；第五章 面積體積，乘法；第六章 角偶；第七章 平行線，空間中之線與平面；第八章 量空間之線，相似形；第九章 比例，變數，等比例；第十章 相合之三角形；第十一章 求作、對稱、圓；第十二章 正數、負數、號例；第十三章 加法及減法；第十四章 乘法及除法；第十五章 特別積，劈因數，二次方程；第十六章 一次方程函一未知數之題；第十七章 含兩個或多個未知數之直線方程；第十八章 公式；第十九章 溫習及補題.

【第二編】

第一章 已授之假設，定理，求作法；第二章 證題法；第三章 消元法；第四章 四邊形，角柱表面，二面角；第五章 等比例線段；第六章 等比例，劈因數，變數；第七章 相似多邊形；第八章 三角形各邊之關系，二次方程，根數；第九章 三角比、根數，含兩元之方程；第十章 圓形；第十一章 用弧量角法；第十二章 圓內之等比例線段；第十三章 演算分數法；第十四章 不等式；第十五章 空間之線與平面，角，球體；第十六章 軌跡，會合線；第十七章 內接，外切，圓周長度；第十八章 面積，字母方程，劈因數；第十九章 多邊形，圓，面積之等比例.

【第三編】

第一章 函數 含一元之方程；第二章 三角函數；第三章 一次方程；第四章 含一元之二次方程；第五章 劈因數法 分數；第六章 指數，根數，無理方程；第七章 對數 計算尺；第八章 三角形之解法 對數；第九章 幾角諸函數間之關系；第十章 二項定理 級數；第十一章 含兩元之方程系；第十二章 表面之面積；第十三章 體積；第十四章 多面角，四面體，球面多邊形；第十五章 前兩編幾何學定理及假說提要.

3 教科書分析

3.1 教科書的整體結構

這套教科書的編排正如其名——“混合”，將算術、代數、幾何和三角等在內容上相互獨立，但彼此之間有著千絲萬縷聯系的內容，組成一個系統.譯者在序言前對該書這樣評價道：“近世教授算學，多墨守舊法，算術幾何三角，累級而升，唯恐損越各科初級淺理雖多，然步驟既困，自難融會，聰明是塞，日力遂廢，是書編撰，獨出心裁，融合各法會通發揮，有盡去陳滓一爐而治之妙，實教科書至精之本.”這套教科書對教師和學生的要求都比較高，要求教師有較高的數學素養和基礎，因為知識都采用“混合”編排，所以教師自己必須對各分支知識都特別熟悉，更要求教師理解各個知識點的內在聯系，才能幫助學生融會貫通.由于當時也有很多學校教師水平參差不齊，一些師資力量相對薄弱，生源質量較差的學校采用“混合”教法有一些實際的困難，所以當時也出現了一些反對的聲音.現將這套教科書的整體結構介紹如下.

《布利氏新式算學教科書 第一編》是初中第一年的算學課本，重點講授代數知識，同時將幾何等內容融會貫通于其中.使學生在一年的學習中，掌握一些最基本的代數、幾何公式，會解包含兩三個未知數的方程.其中19章內容中幾何內容占了8章.

《布利氏新式算學教科書 第二編》是初中第二年的算學課本，重點講授平面幾何知識，同時將代數、三角等內容融會貫通于其中，也將立體幾何融合在平面幾何中講授.第二編開始之前，專設第一章，對第一編中所講到的幾何知識全部進行羅列，對于沒有學過第一編的學生而言，可以當成學習綱目，依次序重新學習，而對于已經學過第一編的學生可當成一次系統的復習.平面幾何的知識，在這一編中全部講完，與第一編相比，幾何知識更注重理論證明.本編繼續第一編講解三角函數，用三角函數解直角三角形及其它一些實用性很強的問題，以及各種函數之間的關聯.

《布利氏新式算學教科書 第三編》是初中第三年的算學課本，是在前兩編的基礎上，講授完成中等學校學生應該學習的代數學、三角學與立體幾何學.本編的主要目的是貫徹融合的主張，在各門數學內容中，取關系密切的內容，融合教授.例如要解三角的問題，必以對數為工具，而要討論對數的相關知識，必先講授指數定理.給出了二元一次方程組和一元二次方程的多種解法.例如用行列式解二元一次方程組；用消元法解多元一次方程組；用高階行列式解多元一次方程組.用代入法，消元法，分解因式法，消常數法，換元法等解二元二次方程組.具體的方法解各種方程組，比用抽象的計算更為明晰，而且便于記憶.這一冊的學習有助于學生掌握“數形結合”的重要思想，同時利用方程解決實際問題的能力得到進一步加強.第三編的最后一章，復習了之前所學的幾何概念、公理和定理，既可作為第三編學習時的參考，又可作為學習完第三編之后的復習.這樣設置的目的一方面為了學習的便利，便于學習者對于已學過的知識進行系統復習，避免了翻閱其它書的麻煩.最主要的原因是為了讓學生對整個3編中所學到的幾何知識有一個系統的把握，避免學到的只是一些零散的幾何知識.重要的數學公式表，則附于書末.

3.2 教科書的特點

3.2.1 內容豐富

這套教科書采用混合編制，涉及到了算術、代數、幾何和三角的各個方面，內容豐富.編者在“原序一”中指出這種混合編制的好處：“① 取算學各科性質最相近可互相發明者.貫串出之，習算之難，可釋然無余.② 是書經同學教員評議討論，刪繁增要，務求明達，雖無閱歷之講師，亦能按序指授，無有凝滯，蓋編次之良美，實臻實驗之絕頂也.③ 心理研究，學務所重，是書取材，恰與學生心理相應，手捧耳聆，自能領悟.”最后總結道：“總而言之，實津逮初學之興趣，啟發思力之秘論也……此種編制之利益，在按心理的論理的原則，連續發展學者對于數學之疑識，其使學者領悟數學之意義與實用及科學的性質，教之分門學習，自然更加明了.此結果引起學者具繼續研究數學之傾向.”這種編排有助于學生理解知識之間的內在聯系，還能激發他們觸類旁通，舉一反三，培養其數學聯想能力.

這套書的另一個突出特點就是習題豐富，在習題的設置中，大都是講一兩個概念或定理之后就安排至少5道習題，讓學生在掌握了基本結論之后將其運用于解決具體問題.作者尤其重視學生應用知識解決實際問題的培養，在應用題方面用了很大篇幅，在每一個重要知識點的講解后都安排各種實際問題.

這套教科書每章末都附加提要，這既可以使學生對于本章內容有系統地認識，而且容易指導學生記憶及復習.例如，《布利氏新式算學教科書 第一編》第二章“加法減法”結束后有以下提要：本章所授各項；本章所用記號；本章所用的公理；本章所用的例子的類型等.每卷的卷末都附有日常計算必要的各種數值表，實用主義色彩很濃厚.

3.2.2 注重代數與幾何之間的融合并突出數形結合思想

這套教科書從第一編開始講授幾何與代數，基本上都以“代形參伍并授，時合時分，全看數理上的可能”.努力把代數知識、幾何知識有機地“復合”為一個整體，達到你中有我，我中有你的效果，而不是僅僅“混合”，你還是你，我還是我.例如“在多項式乘多項式”一節中，對于式子分別用長方形的面積解釋，即a+b、c+d分別為長方形兩邊之長.

這樣的處理很巧妙，整套書中這樣的例子比比皆是.這種混合編排，可以做到數形結合，使得有些知識顯得生動形象，前后銜接自然.能夠激發學生學習數學的興趣，使學生明了各科之間相互的關聯，能夠在龐雜零碎的數學知識中得到有機統一的觀念[2].杜佐周認為，“利用這種方法排列教科書，學生對于數學一科，必可更加有趣味；所得到的知識及技能，必可更加切于實用；個性方面的不同，亦必可更加容易補救.再者，用這種方法教學，無論學生將進而研究高深數學或其他各種職業，都可得到相當的益處.即使學生有中途輟學的，亦可無遺漏之恨.”[5]

這套教材在幾何內容的處理上基本打破了歐氏幾何公理體系，考慮更多的是知識點之間的銜接與融合，即如何實現由代數、幾何、三角的融合與過渡.但從幾何內容的分布來看，重視幾何內容的編排.正如編者在“原序一”中指出，“是編多述幾何，引人入勝，且能令學者舍入門之力，拾級而上，升堂入奧，直造玄妙.”

3.2.3 注重多學科內容的整合

在這套教科書中一方面穿插了許多歷史知識，書內插入大量歷史注釋和歷史人物，目的是擴大學生的知識面，激勵學生學習的興趣.例如，《布利氏新式算學教科書 第一編》共插有13幅名人像傳，分別是奈端（Sir Isaac Newton, 1642—1727）；偉熱他（Francois Viet, 1540—1603）；歐幾里得（Euclid, 約公元前 330—公元前 275））；兌喇士（Tales, 公元前640—公元前542）；華利士（John Wallis, 1616—1703）；派達哥喇士（Pythagoras，公元前569—公元前500）；亞奇米德（Archimedes, 公元前287—公元前212）；佗達基利亞（Nicolo Tartaglia; 1500—1557）；巴斯加（Blaise Pascal, 1623—1662）；利安拿度（Leonardo of Pisa, 1175—1250)；拉果蘭諸（Joseph Louis Lagrange, 1736—1813）；笛卡爾（1596—1650）；哀拉（Leonhard Euler, 1707—1783）.《布利氏新式算學教科書 第二編》共插有3幅名人像傳，分別是喀萊（Felix Klein, 1849—1925）；弗而馬（Pierre de Fermat, 1601—1665）；哥斯（Carl Friedrich Causs, 1777—1855）.《布利氏新式算學教科書 第三編》共插有6幅名人像傳，分別是，來本之（Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1646—1716）；羅華德雨（Guillaume Francois Antoine L’ Hopital, 1661—1704）；孟杰（Gaspard Monge, 1746—1818）；納白雨（John Napier，1550—1617）；卡但（Cardan, 1501—1576）；賈法利利（Bonaventura Cavalieri, 1598—1647）.對每一個歷史人物介紹他們的生平以及在數學上的貢獻.

這套教科書中也插入了一些地理知識，物理現象，社會現象等，它們以不同的方式出現，有些出現在例題中，有些出現在習題中以及知識點的講解中.這些內容與數學知識有機結合，使學生在接受到數學方法和思維訓練的同時開拓視野，也說明數學在生活中無處不在.

4 結 束 語

回顧中國翻譯的第一套初中混合數學教科書，能給中國現在的基礎教育數學課程改革以許許多多的啟示.正如羅德建在“傅種孫先生在北京師大附中”一文中指出的，“為什么上世紀二三十年代的數學教育能培養出那么多社會的棟梁之材，我想無論是那個時候的教師，教材，還是教法都是值得現在的我們去深思和總結的.”[6]當然，《布利氏新式算學教科書》也存在不足，例如，對數學的“整體性”考慮不足，把幾種知識混為一體，學生難以學到系統的知識；難度過大，中學生接受困難等.所以，該教科書使用伊始，就引來了一些批評的聲音.例如，余潛修認為，“該書材料太多，用作初中的教科書似乎有些不恰當，并且有許多地方不適合于中國的國情.”[7]匡互生于1924年3日11日撰寫了“評中國現有的三部混合算學教科書”一文（刊載于1924年《春暉中學?？返谖迤冢εu當時中國教育界一些教育家，不作認真研究而盲目主張仿效外國辦法，實行初中算學課混合教授，并詳細剖析了當時僅有的一個譯本《布利氏新式算學教科書》的種種謬誤，指出盲目提倡混合算學和譯著不嚴肅，誤人子弟的不當[8].因此，混合教學的嘗試道路中還有大量的事情需要探索.例如，如何提高師資水平，以適應混編教科書教學的需要；如何打造一支混合數學教科書的編寫隊伍，將算術、代數、幾何、三角等各個數學分支進行恰當而合理的融合，而不是拼盤式的混合；如何發揮考試的指揮棒作用，使得混合數學教科書有效實施等，詳細論述可參見文[9].但瑕不掩瑜，作為中國翻譯的第—套混合數學教科書，是20世紀中國初中數學首次進行混合教學改革的前奏，是對數學教育界分科教學的一次沖擊.它所蘊含的意義正待有識之士的進一步挖掘和研究.

[1] 松宮哲夫.中國初中數學混合教授法的歷史和現狀（日本）[J].數學教育研究，1994，（24）：147-150.

[2] 陳婷.20世紀上半葉中國初中幾何教科書的演變及其啟示[J].教育學報，2009，5（2）：87-92.

[3] 張奠宙.中國現代數學史略[M].南寧：廣西教育出版社，1993.

[4] 喬治·布利氏.布利氏新式算學教科書（第一編）[M].上海：商務印書館，1920.

[5] 杜佐周.數學的心理[J].教育雜志，1926，18（5）：1-12.

[6] 羅德建.傅種孫先生在北京師大附中[J].數學通報，2008，（2）：11-25.

[7] 余潛修.中學算學采取混合教授法的商榷（上）[J].中等算學月刊，1933，1（1）：9-12.

[8] 中國人民政治協商會議邵陽市委員會文史資料研究委員會.邵陽文史（第十五輯）[C].邵陽，1991.

[9] 陳婷.20世紀20年代末中國初中混合數學教科書考察[J].教育學報，2010，6（2）：48-53.