數學規劃在水網絡優化設計中的應用進展

梁肇銘，李 雁，解新安

（華南農業大學 食品學院，廣東 廣州 510642）

水資源短缺和水污染是當今人類面臨的重大問題，特別是制造工業，每天需要消耗大量新鮮水和排放大量廢水。水網絡集成技術可以較大限度地回用廢水，實現節水減排。Takama等［1］首次運用數學規劃設計單雜質煉油廠用水網絡，并建立了用于優化用水和清洗過程的超結構模型。由于該數學模型規模較大且難于求解，該優化法在水網絡的應用曾被冷落。近十年來，隨著系統優化技術理論的擴展、大規模線性/非線性/混合整數非線性求解器的完善以及現代智能算法的優化，建立超結構并運用數學規劃優化水網絡才有了進一步的研究。

本文綜述了數學規劃在連續過程水網絡優化設計中的特點、求解策略和應用現狀，探討了模型求解的優化算法，以期為過程工業水網絡優化的發展提供依據。

1 樹搜索法

Koppol等［2］針對水分配網絡首次提出樹搜索法，并基于最小新鮮水用量、管道安裝和水泵費用為目標的數學模型來改造多雜質用水網絡。該法首先運用最大回用原則產生分支以確定當前上界，隨后通過在定界過程中不斷遍歷以更新上界來決定回用結構的最優解。已通過三甲苯磷酸鹽廠、乙基氯化物廠、造紙廠和煉油廠的用水和水處理網絡優化實例驗證了該法的有效性。目前該法是唯一能確保尋找多雜質用水網絡最優解的方法。但該法為枚舉法，工作量較大。

2 數學規劃法

2.1 線性規劃（LP）法

在水網絡設計中，假定各用水過程的進出口雜質濃度均已知，或將非線性項進行適當約束使其線性化，即可構建LP模型進行求解。

Tan等［3］針對單雜質不確定數據的水回用網絡，提出運用對稱模糊線性規劃以求解質量交換和水阱分配問題。該法能松弛最小用水目標到可允許邊際值，與傳統方法相比，既簡單又具計算效率。Ku-Pineda等［4］考慮到環境因素，基于線性規劃，引入可持續過程指數（SPI），以量化集成用水過程中環境的影響。通過5過程單雜質以SPI最小和以新鮮水用量最小的優化比較得知，SPI最小的總成本僅為以新鮮水用量最小為目標的1/15。胡仰棟等［5］針對單、多雜質再生/再利用水網絡，提出了逐步線性規劃法，即根據濃度規則對各過程進行排序，然后根據序列運用線性規劃進行逐級的優化匹配。李保紅等［6］改進了逐步線性規劃法，通過在過程排序中引入水網絡最優性的必要條件，用于多雜質水網絡的快速設計，該法僅需在GAMS軟件中稍改變數據便能快速尋求用水過程的近似最優解，但不能確保全局最優。

2.2 非線性規劃（NLP）法

Yang等［7］和Rogelio［8］分別以新鮮水用量最小和廢水處理量最小為目標，建立了水網絡的NLP模型，并進行了優化。Doyle等［9］提出了一種水網絡NLP模型的求解策略，該策略基于操作過程達到最大濃度的假設，將NLP問題轉化為LP問題，并通過求解此松弛的LP模型，作為一個單初始點來求解NLP模型，但此法并不能保證全局最優解。Teles等［10］針對多雜質水回用網絡，改進了Doyle等提出的求解策略，分別運用最大濃度假設、移除不必要連接、預先序列分解匹配等策略來固定負荷過程，用以獲取LP模型，同時求解這些松弛的LP模型，獲取多個初始點，以求解NLP模型。該法能較好地尋找最優解，但求解時間較長。

針對以前的模型一般是將過程的最小流量限制視為零，使約束過于寬松，導致模型求解困難或不收斂問題，鄭世清等［11］在模型中引入了分配因子和用水過程的最小限制流量，并通過7過程3雜質的用水網絡優化實例表明，該法能使超結構模型更容易收斂，減小了求解復雜用水網絡問題的難度。

2.3 混合整數非線性規劃（MINLP）法

Kocis等［12］首次提出MINLP模型用來確定換熱網絡的最小投資費用。解新安等［13］以新鮮水用量最小為目標構建MINLP模型，對某煉油廠15過程單雜質廢水網絡進行優化設計，驗證了MINLP模型優化水網絡的可行性。針對多雜質系統，Karuppiah等［14］考慮了不確定條件（包括操作過程中的雜質負荷和處理過程中的雜質去除負荷），建立MINLP模型來優化水利用和水處理集成網絡，并使用基于拉格朗日對偶分解策略的空間分支和切割算法求解模型。陸曉艷等［15］通過引入不同雜質的回收濃度限制，建立了包括再生回用/循環的多雜質廢水的水網絡MINLP模型。該模型與Karuppiah［14］模型相比，目標函數里增加了中和藥劑、廢物處理等費用和物質回收所得，更貼近于工程設計目標；在脫硫實例中，能使年度總費用降低8%以上；在回收含碳稀氨水實例中，優化結果可解決NH3與CO2反應的問題，水的重復利用率達97.8%，NH3回收率高。Hung等［16］在MINLP模型中引入壓降限制，設計了年度總成本最小的用水網絡，通過泵的優化配置來改善用水網絡的設計；在求解策略方面，首先將非線性約束條件線性化，然后通過迭代 MINLP和 LP 子問題求解。其4過程單雜質和7過程3雜質實例優化驗證了設計的可行性。Faria等［17］提出以最大凈現值和投資回報率替代新鮮水用量最小為目標來設計和改造水網絡。其單雜質和4雜質實例表明，采用最大凈現值為目標時，最優方案取決于其折現利率。

3 基于數學規劃的復合方法

雖然水網絡集成的各種方法有著自身的適用范圍和局限性，但也有互補性。圖解或目標設定法［18-19］難以解決復雜問題；數學規劃能快速求解大規模多雜質水網絡系統的問題，但計算量大且難以獲取最優解。因此，通過一定策略結合兩者成為一種發展趨勢，即基于圖解或目標設定法的概念設計，簡化數學模型，以降低模型求解難度和獲取最優解。

3.1 水質分析與數學規劃相結合

劉強等［20］借鑒李保紅等［6］和Wang等［21］的排序思路，對水網絡進出口極限過程數據進行分析，并構建NLP模型，提出水質分析與數學規劃相結合來設計多雜質用水網絡。該法針對多雜質的存在難以比較水質優劣的問題，引入一個量化因素需求比例（所有過程的需求量與總用水量的比值），參照需求比例的優劣順序，同時根據優質水節水效果好的原則優先回用較優質的出水，以達到降低維數的目的。該7過程3雜質、10過程3雜質的優化實例表明，分別能使水網絡超結構從42種降到14種、90種降到30種，驗證了有效性。

3.2 水夾點分析與數學規劃相結合

Gunaratnam等［22］基于水夾點分析建立了以管道和水處理費用為目標的、包括所有水回用路線的超結構MINLP模型，同時采用分級策略，假設所有出口濃度均達到最大水平并根據過程建立線性質量平衡方程，將MINLP模型轉化為MILP模型來求解。將其用于石油煉廠的水回用網絡優化和改造，探討了新鮮水消耗量、水處理費用、管道費用和污染物排放量之間的權衡和各參數的靈敏度。該法能減少10%以上的新鮮水用量，并降低投資成本。

李英等［23］基于MINLP降低維數的思想，先構建包含所有回用可能的水網絡超結構及其MINLP模型，并基于水夾點分析獲取用水過程的夾點濃度，運用設定的夾點經驗規則剔除模型中不合理的結構以使維數降低。該法避免了用水夾點分析難以獲取水網絡中最優解的缺點，也克服了MINLP模型維數過高而求解困難的情況。其6過程單雜質、10過程3雜質用水網絡實例表明，該法能滿足不同水網絡的要求。但對于多雜質系統，通過夾點分析獲取最小新鮮水用量還較為困難。

3.3 基于濃度勢概念的水網絡設計

針對多雜質水網絡優化設計中雜質難以按常規濃度排列的問題，Liu等［24］首次提出需求水流濃度勢與源水流濃度勢概念，用于解決多雜質水流的濃度排序問題。潘春暉等［25］將其簡化為綜合濃度勢（OCPDj）。OCPDj由各用水過程水流的常規濃度確定，反映了單位水流 j被其他過程水流虛擬滿足的可能性大小，即OCPDj值越低，水流j的濃度就越低。從OCPDj值的順序便可得到水流的濃度高低。此法設計過程簡單，無需復雜的迭代或運算，其4過程3雜質的用水實例優化表明，各水流的綜合濃度勢順序與其常規濃度順序一致，所得新鮮水用量與Wang等［21］的研究結果相當。

對于多水源多雜質的水網絡設計問題，王曦等［26］提出結合濃度勢概念和NNA規則［27］的優化方法。先運用濃度勢概念確定用水過程的執行順序，按來源將水源分為內部源水流和外部源水流兩部分，再將源水流對用水過程的虛擬分配率作為選擇源水流的依據來滿足用水過程。其7過程3雜質的用水實例表明，該法有效可行，但由于系統的復雜性，不能確保所得解最優。

3.4 中間水道技術（WM）

對于常規的水網絡，為了取得最大的節水減排效果，各用水過程高度集中而柔性變差。在網絡中增設中間水道，使用水過程只與中間水道相連，可以達到簡化設計、增強系統柔性、利于運行和控制的目的。但增設中間水道一定程度上會增加操作費用，增大新鮮水用量。Feng等［28］針對以新鮮水用量最小為目標的單雜質水回用網絡，提出增設一個或多個中間水道來優化用水網絡設計，該中間水道的設置通過水夾點分析獲取。針對多雜質用水網絡，Wang等［21］提出一級中間水道的設計方法，并引入“節水因子”的概念，側重尋找具有最大節水潛力的一級中間水道設置方法。曹殿良等［29］利用該法對某催化劑廠10過程2雜質的用水網絡進行了優化，通過設置一級和二級中間水道，取得較好的節水效果。王東明等［30］為克服中間水道技術設計精度不高的缺點，提出具有兩個中間水道的多雜質水網絡設計，該法強調一級中間水道位置確定的重要性，并通過確定某中間水道回用到相應后續過程的優先順序來完成中間水道到后續過程的水分配。其10過程3雜質實例優化表明，設計能簡化網絡結構，但比Koppol等［2］的研究結果略大。馮霄等［31］提出了具有中間水道的廢水再生循環用水網絡設計，對最小新鮮水用量、最小再生水流量、最小再生負荷進行分步優化設計，并根據各參數相對重要性依次求解。其5過程單雜質和7過程3雜質的優化實例表明了其設計的可行性。何海娜等［32］建立了具有兩級中間水道的多雜質用水網絡優化方法，先利用濃度勢概念設計初始水網絡，再確定各中間水道的結構及水量，然后中間水道根據濃度勢的大小順序依次滿足各用水過程以完成水分配任務。其7、8過程3雜質優化實例表明，計算和設計簡單，但比馮霄等［31］的研究結果略大。

4 模型求解的優化算法

迄今為止，數學規劃在求解多雜質水網絡的設計問題時獲得了很大的成功，但由于模型的非凸非線性，求解時對初值的要求高，計算量大，且不能保證得到全局最優解。為了獲取全局最優解，很多時候需要對模型求解的算法進行適當優化。

4.1 確定性算法

4.1.1 基于分支限界的全局優化算法

Karuppiah等［14，33］針對水利用和水處理網絡的非凸NLP、MINLP模型全局優化問題，提出一種新的空間分支界限收縮算法。對于NLP模型，通過分段線性估計逼近模型的非凸項來獲取松弛的MILP解作為下界，上界由松弛的MILP解作為初值求解非凸NLP模型獲取；對于MINLP模型，下界則利用拉格朗日對偶松弛切割子集獲取，上界由MINLP模型的局部優解獲取。通過2過程單元2處理單元2雜質和5過程單元2處理單元3雜質的優化實例驗證了模型和方法的有效性。Faria等［34］提出一種基于線性松弛和界限收縮的全局優化算法，無需使用二進制變量，而是在雙線性和二次項中構建下界模型分區變量，以松弛雙線性項和分段估計的非凸項；上界由求解基于下界運行的MINLP模型獲取；其13個實例優化驗證了方法的可行性。

4.1.2 外逼近算法（OA）

Bergamini等［35］針對非凸NLP、MILP、MINLP模型尋優收斂困難的問題，提出一種改進的分段外逼近算法——全局優化外逼近算法。其多個實例計算表明，使用較少的二進制和連續變量就能解決模型的定界問題，與GAMS軟件相比，該算法能明顯縮短運算時間。

4.2 隨機型算法

4.2.1 遺傳算法（GA）

Shafiei 等［36］結合遺傳算法和線性規劃法對紙漿和造紙廠的用水網絡進行了優化設計，運用遺傳算法處理離散變量，運用線性規劃處理連續變量，以改進數學規劃尋求水網絡最優解。但該法的最優解很大程度上取決于限制濃度的要求，需考慮各種備用約束。Lavric等［37］構建了用水網絡拓撲結構并運用遺傳算法求解，開拓了隨機型算法設計水網絡的新途徑。

為了降低在水網絡設計中運用遺傳算法尋優的計算量，林瓦妹等［38］在求解前引入最大水回用規則，以簡化超結構和約束條件，減少求解變量。其8過程1、3雜質以新鮮水用量最小為目標的計算實例驗證了方法的可行性。

4.2.2 基于遺傳算法的混合優化算法

Cao等［39］基于以新鮮用水量最小為目標的用水網絡NLP模型，提出了夾點多代理遺傳算法。該算法運用夾點規則降低維數和搜索空間，以遺傳算法獲取隨機變量，求解線性規劃獲取因變量，結合隨機變量和因變量獲取決策變量，并利用不等式約束的罰函數來計算目標函數。其5過程單雜質和3過程3雜質實例表明，能獲取與LINGO軟件相當的優化結果，且在多雜質條件下更具優勢，能較大程度地避免局部最優。都健等［40］將遺傳算法嵌入到模擬退火算法的內層優化，開發了一種混合優化算法——自適應模擬退火遺傳算法。該算法由遺傳算法步驟進化求解最優值，為模擬退火算法提供初始解向量，以克服常規算法求解過程中收斂困難或易于陷入局部最優解的缺點，同時自適應調整步長和交叉變異概率的策略，能使算法的時間性能得到很好的保證。

4.2.3 自適應粒子群算法（PSO）

Hul等［41］對PSO進行了適當改進，通過在二進制變量模型中引入變異算子以避免陷入局部最優解，并將其應用到水回用和水循環網絡優化中。其6過程單雜質水回用和水循環網絡優化實例表明，尋優能力強于傳統的PSO和GA。Luo等［42］提出一種改進的PSO——簡約空間法，求解含等式約束MINLP模型的用水網絡。該算法先通過簡約優化變量變換使帶有等式約束的優化問題轉化為僅含不等式約束優化問題，然后通過罰函數進行求解。其4過程單雜質用水過程實例優化結果也驗證了算法的有效性。王猛等［43］對粒子群算法進行了改進，以新鮮水用量最小為目標，通過最大進、出口濃度的條件約束以降低回用水網絡結構，同時利用不等式、等式約束的罰函數來計算目標函數，從而簡化求解過程中的搜索空間，避免局部最優解。其7、3過程3、4雜質實例驗算證明了方法和模型的可行性。

4.2.4 列隊競爭算法（LCA）

李鳳喜等［44］采用LCA法并結合序列二次規劃（SQP）法的混合優化算法以求解多雜質水網絡優化設計中的MINLP問題。該混合算法為2層結構：外層采用LCA法，將MINLP問題轉化為NLP問題；內層采用SQP法對NLP問題進行求解，即外層用于優化整數變量，內層用于優化連續變量，然后通過兩方法的交替逼近最優解。其3處理過程3用水過程2雜質和3處理過程5用水過程3雜質的實例求解到較優的結果。

5 結語

隨著可用水資源的日益減少、廉價工業用水的匱乏，實現過程工業中新鮮水用量和廢水排放量最小化的水網絡集成和改造研究越來越收到重視。數學規劃法作為水網絡集成技術的重要方法，具有并行處理、求解效率高等特點，在多雜質系統、大規模或復雜操作過程、間歇過程問題上能設計出具有柔性操作的模型。

盡管數學規劃及其復合方法在優化設計水網絡中取得了較大的成功，但在大規模多雜質水網絡求解、模型簡化、應用實施等方面仍需要深入研究：

a）在求解大規模多雜質水網絡模型的非凸非線性問題上，如何簡化、優化算法以縮短模型的求解時間、準確獲取最優解，并驗證數據處理的有效性，值得探究。且在設計算法時，有必要多考慮水網絡中實際用水情況和各用水單元極限濃度、負荷情況。

b）復合方法能克服設計過程中水分配問題的復雜性，也能簡化模型的規模和運算求解過程，但其多依賴于設計者以經驗設定的規則，在大規模多雜質水網絡設計問題上仍是難點，如何準確地把握和運用經驗規則，提出簡單而可行的復合設計方法，并驗證有效性，具有很大的探討空間。

c）關于水網絡集成技術的研究，設計者多集中在理論模擬階段，然而，將設計好的簡單、有效、符合實際用水情況的方法真正實施到工廠大規模水網絡改造中，并獲得較好的經濟、環境效益，才更具現實意義。

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