深挖教材，拓展延伸

教材是數(shù)學(xué)試題的原始生長點(diǎn)，回歸教材、用好教材是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要途徑. 課本例題和習(xí)題都反映了相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，具有典型的示范作用，極具“開采”的價(jià)值.

【解析】對(duì)于延展1，由原題的結(jié)論可得CD=AB-AC=-1. 對(duì)于延展2，由原題的線段關(guān)系CA=CB=AE，BE=DE=CD，可得△BDE的周長就是線段AB的長即為2. 對(duì)于延展3，去掉CA=CB，把等腰直角三角形變?yōu)橹苯侨切危绢}還是抓住角平分線的對(duì)稱性，可以作DE⊥AB，垂足為E，得△ADE≌△ADC，△ABC∽△DBE，則=，設(shè)BD=x，BE=y，則=，解得x=2y-3，在Rt△DBE中，BD2=DE2+BE2，即（2y-3）2=y2+32，求得y=4，即可求得AB=4+6=10. 對(duì)于延展4，返回到該題的原型，看似有一定的難度，不過我們還是可以利用角平分線的對(duì)稱性，在AB邊上截取AE=AC，連接DE（如圖1-4）. 可以證明△ADE≌△ADC，得到ED=CD，AE=AC，∠AED=∠C. 由∠C=2∠B可得∠AED=2∠B，所以就有∠EDB=∠B，從而EB=ED=CD. 所以AB=AE+EB=AC+CD.

角平分線最重要的性質(zhì)是它的軸對(duì)稱性，其他性質(zhì)都可以由此推出. 所以，遇到與角平分線有關(guān)的問題時(shí)，首先應(yīng)該想到它的軸對(duì)稱性，比較常見的是構(gòu)造三角形全等. 希望同學(xué)們能從本題中有所感悟.

延展2：已知：如圖2-2，將一塊半徑足夠長，圓心角為120°的扇形紙板的圓心放在正三角形ABC的中心O處，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn). 正三角形ABC被覆蓋部分的面積和正三角形ABC的面積存在一種特殊關(guān)系嗎？正三角形ABC被覆蓋部分的邊長（即CE和CF）和正三角形ABC的邊長也存在一種特殊關(guān)系嗎？

延展3：已知：如圖2-4，將一塊半徑足夠長，圓心角為72°的扇形紙板的圓心放在正五邊形ABCDE的中心O處，并將紙板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn). 你能總結(jié)出類似于“延展2”的結(jié)論嗎？

延展4：已知：如圖2-5，將一塊半徑足夠長，圓心角為多少度的扇形紙板的圓心放在正六邊形ABCDEF的中心O處，能得出類似于“延展2”的結(jié)論嗎？如果是正n邊形，那么圓心角應(yīng)該是多少度，被覆蓋的面積和邊長又有什么特點(diǎn)呢？

【解析】對(duì)于延展1，由原題的結(jié)論可得正方形ABCD被覆蓋部分的面積是正方形ABCD面積的. 正方形ABCD被覆蓋部分的邊長CE與CF的和等于正方形ABCD的邊長. 對(duì)于延展2，借助原題的方法，可以連接OB、OC，如圖2-3，證△BOE≌△COF，同樣可得正三角形ABC被覆蓋部分的面積是正三角形ABC面積的，正三角形ABC被覆蓋部分的邊長CE與CF的和等于正三角形ABC的邊長. 同理，對(duì)于延展3，可得正五邊形ABCDE被覆蓋部分的面積是正五邊形ABCDE面積的，正五邊形ABCDE被覆蓋部分的邊長DM與DN的和等于正五邊形ABCDE的邊長. 對(duì)于延展4，只要將一塊半徑足夠長，圓心角為60°的扇形紙板的圓心放在正六邊形ABCDEF的中心O處，能得出正六邊形ABCDEF被覆蓋部分的面積是正六邊形ABCDEF面積的，正六邊形ABCDEF被覆蓋部分的邊長DM與DN的和等于正六邊形ABCDEF的邊長. 如果是正n邊形，那么圓心角只要為，被覆蓋部分的面積是正n邊形面積的，被覆蓋部分的邊長之和等于正n形的邊長.