找尋知識背后的思想方法

“松下問童子，言師采藥去，只在此山中，云深不知處. ”初讀無所獲，再讀有指向（意在言外）. 在數學國度里，我們時常會有“似曾相識”而又不可及的感覺，這是源于沒有思考指向（思想方法）. 只有抓住問題的本質，洞察真正的指向，方能學得順心、做得順意. 于此可見，累積數學思想方法顯得尤為關鍵和至關重要.

一、 分析和綜合的思考方法

經歷“中心對稱圖形（一）”的學習，我們已經認識了本章圖形的一些性質和獲得了一些結論，是通過“做”的方式得到的. 事實上，僅憑直覺經驗得來的結論有時是靠不住的，還必須經過嚴密的推理，才能讓我們的認識到達一個理性層面. 源于此，課本特設了兩個欄目“思考與表述”、“證明的途徑”. 前者告訴我們“怎么想”和“怎么寫”，后者引導我們逐步學會綜合的思考方法. 怎么想是分析過程，怎么寫是有條理的表達過程，兩者是互逆思維. 其實，尋找證明思路的過程就是交替地運用分析和綜合的思考方法的過程，不僅僅是單向思維，常常需要從兩個方向思考：“證明結論，需要什么條件？”“從已知條件可以推出哪些證明結論所需的事項？”（即由因索果和執果索因）這樣有利于探索并獲得證明的思路. 這些思考方法是我們學好本章內容必須具備的思維品質. 思想方法總是與具體知識共生共長，不是憑空產生的. 于是，我們繼續站在五個基本事實的平臺上，經歷觀察、操作、實驗、猜想、歸納、驗證、說理等活動過程，習得了等腰三角形的性質和判定、角平分線的性質以及平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定、等腰梯形的性質和判定. 在交流證明思路的過程中，我們要考慮證明的出發點（源頭）和過程（路徑），縝密地完成證明過程.

二、 分類的思想方法

例如探索一個矩形、菱形是正方形的條件，可以分為：有一個角是直角的菱形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形；還可以通過對角線分類：對角線垂直的矩形是正方形、對角線相等的菱形是正方形. 按照“對稱性”可將圖形分為軸對稱圖形和中心對稱圖形. 常見的軸對稱圖形有：線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓、箏形；常見的中心對稱圖形有：線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓.

分類有助于我們把握問題的本質，了解研究對象的共性和差異，分類是探索數學研究對象性質的有效途徑. 特別是對于幾何圖形的分類，有利于培養幾何的直觀性和思維的層次性.

三、 轉化、類比的思想方法

在學習“等腰三角形的判定”時，通過回憶將一個等腰三角形剪出等腰梯形的過程，引導我們感受將一個有待推證的問題轉化為可證的問題，是解決問題的一個重要策略. 其實，研究四邊形問題，常常要把它轉化為研究三角形的問題，這就把一個有待解決的新問題轉化為我們會解的問題. 我們在研究梯形的中位線性質時，類比三角形中位線的性質；在證明梯形中位線的性質定理時，是通過添加輔助線，把梯形中位線轉化為三角形的中位線.

事實上，轉化、類比的思想方法是我們獲得新知的重要途徑. 有理數運算就是通過引入絕對值的概念，將它轉化為算術運算；通過引入相反數和倒數的概念，將有理數的減法和除法運算分別轉化為有理數的加法和乘法運算；整式加減的實質就是通過同類項的概念轉化為有理數的加減即化式的運算為數的運算. 解一元一次方程的過程，就是通過去分母、去括號、移項、合并同類項、方程兩邊同除以未知數的系數等操作步驟，將所給方程轉化為最簡方程的過程. 解一次方程組的過程就是用代入消元或加減消元，將“多元”轉化為“一元”的過程. 還有，我們類比分數學習分式、類比一元一次方程學習一元一次不等式等.

四、 正難則反的思想方法

本章多處滲透了“正難則反”（也稱“反證法”）的思想. 穿插在課本中的閱讀欄目“倒過來想”、“生活中的一些判斷與推理”就是一種逆向思考方法，有助于我們更好地理解“正難則反”的本質.

在研究角平分線的性質時，就是借助簡單的數學事例（“如果一個點到角的兩邊的距離不相等，那么這個點不在這個角的平分線上. ”你認為這個結論正確嗎？）說明運用反證法也是獲得結論正確性的一種重要方法，進而從側面幫助我們理解“角的內部到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”這一性質.

“舉反例”的方法，能幫助我們在比較和區別中體會反證法的含義. 比如：你認為“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”這個結論正確嗎？為什么？顯然，這個結論是錯誤的. 因為等腰梯形中一組對邊平行，另一組對邊相等，而等腰梯形不是平行四邊形. 又如：為了深化我們對“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”的理解，給出了“對角線不互相平分的四邊形不是平行四邊形”的問題推證，借助反證法的“三段論”形式（假設……，那么……. 所以……）獲得結論的合理性（具體推證過程是：假設四邊形是平行四邊形，那么其對角線必然互相平分，這與條件“對角線不互相平分”矛盾. 所以該四邊形不是平行四邊形）. 這些反例都有助于我們切實理解反證法的原生本質和意義所在，為我們提供了反常規的思考方法.

五、 從“一般”到“特殊”和從“特殊”到“一般”的方法

矩形、菱形具備了平行四邊形的一般性質外，還具有自身的特殊性質（矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直且每一條對角線平分一組對角）；正方形具有平行四邊形的一般性質，還具有矩形和菱形的特殊性質. 事實上，特殊圖形具有一般圖形的性質和它的特殊性質，一個圖形越特殊，它的判定需要的條件就越多. 比如判定一個四邊形是正方形的方法可以是“對角線互相平分且相等且垂直的四邊形是正方形”，也可以是“四條邊相等且四個角都是直角的四邊形是正方形”.

我們知道，四邊形和平行四邊形的中點四邊形都是平行四邊形；矩形和等腰梯形的中點四邊形都是菱形；菱形的中點四邊形是矩形；正方形的中點四邊形仍是正方形. 但不可以認為中點四邊形是菱形的，原四邊形就是矩形，因為等腰梯形的中點四邊形也是菱形；同樣不可以認為中點四邊形是正方形的，原四邊形就是正方形，因為一般四邊形只要它的對角線垂直且相等，則其中點四邊形就是正方形；顯然，一個對角線相等的四邊形，其中點四邊形就是菱形；一個對角線垂直的四邊形，其中點四邊形就是矩形. 我們在探索中發現了一系列連接各邊中點得到的四邊形的形狀與原四邊形兩條對角線的位置關系和數量關系有關，從中可以體會到在圖形的位置關系、數量關系從“一般”到“特殊”的變化中，常常伴隨著圖形從一般到特殊的變化，關注圖形的這一變化規律有利于我們深入、全面地認識圖形的性質.

思想方法是具體知識的靈魂，唯有內化，才能獲得“萬變不離其宗”的方法. 既然“身在此山中”，何愁“云深不知處”？可見，找到思想方法，就找到了問題解決的關鍵.