抓住本質(zhì)，品味概念

整數(shù)的運(yùn)算給實(shí)數(shù)運(yùn)算許多啟示，整式的運(yùn)算也會(huì)啟迪我們探索根式的運(yùn)算，而二次根式的運(yùn)算又將涉及一些重要概念和性質(zhì)，那我們就從這些抽象的概念開始，打開學(xué)習(xí)二次根式的大門.

一、 溫故而知新

打開書本，映入眼簾的是一個(gè)熟悉的符號(hào)“”，同學(xué)們一定想到曾在八年級(jí)學(xué)習(xí)平方根的時(shí)候見過：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根. 一個(gè)正數(shù)a有兩個(gè)平方根，其中正的平方根，也叫做a的算術(shù)平方根，記作“”.而在“二次根式”這一章中直接把二次根式定義為：一般地，式子（a≥0）叫做二次根式.對(duì)比這兩個(gè)概念，很顯然，二次根式與算術(shù)平方根之間有著十分密切的聯(lián)系.因此，我們學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候，可以將平方根、算術(shù)平方根的相關(guān)知識(shí)與二次根式作對(duì)比，不僅有利于對(duì)二次根式這一新概念的認(rèn)識(shí)，也有利于加深對(duì)二次根式和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系的了解.

二、 抓住本質(zhì)，品味概念

1. 二次根式概念的理解

（1） 二次根式與算術(shù)平方根的聯(lián)系

例1 代數(shù)式中，自變量x的取值范圍是_______.

【思路點(diǎn)撥】確定自變量x的取值范圍，關(guān)鍵要找到含有x的式子所處的位置，根據(jù)“二次根式的被開方數(shù)大于等于0”和“分式的分母不為0”來列出不等式（組）.

解：x≥-1且x≠0.

【注】二次根式的定義決定了所有涉及二次根式的問題，必須確保被開方數(shù)（式）的非負(fù)性，這一點(diǎn)必須予以重視，并在以后的學(xué)習(xí)中不斷強(qiáng)化.

（2） 二次根式與算術(shù)平方根的區(qū)別

二次根式的概念是從形式上界定的，必須含有“”，沒有“”的式子都不是二次根式. 這揭示了二次根式和算術(shù)平方根的區(qū)別.

例2 下列式子：，，，，，其中二次根式有_______.

【思路點(diǎn)撥】 雖然含有“”，但被開方數(shù)-3小于0，沒有意義，故不是二次根式，而中，無論x為何值，x2+1總大于0，故是二次根式.

解：二次根式有，，，.

【注】是二次根式，雖然=3，但是3不是二次根式，因?yàn)樗缓啊?

2. 最簡(jiǎn)二次根式

對(duì)于“最簡(jiǎn)二次根式”的概念，要緊扣“最簡(jiǎn)”二字，不僅要知道其需要滿足的三個(gè)條件：（1） 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)和因式；（2） 被開方數(shù)中不含分母；（3） 分母中不含有根號(hào)，更為重要的是在遇到具體式子時(shí)能夠迅速準(zhǔn)確地作出判斷，并用相應(yīng)的手段加以化簡(jiǎn).

例3 在根式：①；②；③；④中，最簡(jiǎn)二次根式是_______.

【思路點(diǎn)撥】判斷最簡(jiǎn)二次根式，關(guān)鍵要看其是否滿足三個(gè)條件，若被開方數(shù)是多項(xiàng)式，有時(shí)需要因式分解后再作判斷. ②的被開方數(shù)含分母，④中“27”含有開得盡方的因數(shù)“9”，故它們都不是最簡(jiǎn)二次根式.

解：最簡(jiǎn)二次根式是①③.

3. 同類二次根式

經(jīng)過化簡(jiǎn)后，被開方數(shù)相同的二次根式，稱為同類二次根式. 很顯然，判斷同類二次根式的前提是要先化簡(jiǎn)，其次是看被開方數(shù)是否相同，根指數(shù)是否為2次.

例4 在下列各組根式中，是同類二次根式的是（ ）.

A. 和

B. 和

C. 和

D. 和

【思路點(diǎn)撥】確定同類二次根式之前，要先判斷是否是最簡(jiǎn)二次根式，若不是，應(yīng)先化簡(jiǎn).選B.

4. 分母有理化及有理化因式

把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化；兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式. 在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，常常可以化去分母中的根號(hào)，以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.

【思路點(diǎn)撥】在分母有理化的過程中，如果分母是二次根式，可以先化到最簡(jiǎn)二次根式后再確定有理化因式；如果分母是含有二次根式的和的形式，則應(yīng)根據(jù)平方差公式中的兩個(gè)因式的特點(diǎn)（一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)相反）來確定有理化因式.

二次根式是初中重要而又比較抽象的基礎(chǔ)知識(shí)，同學(xué)們只要能類比過去學(xué)過的知識(shí)，抓住其本質(zhì)，在練習(xí)中不斷地品味各個(gè)概念，就一定能輕松扎實(shí)地學(xué)好本章知識(shí).