對“折疊黃金矩形”問題的深入探究

在《圖形與證明（二）》一章的“數學活動”中，教材安排了折紙活動，同學們參與熱情都很高，探究的成果也超過了課本上的要求；后來老師又布置了一道“折疊黃金矩形”的練習，請看：

例 【閱讀理解】 寬與長的比是或（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.

下面，我們用寬為4 cm的矩形紙片折疊出一個黃金矩形.

第一步，在矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平.

第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平.

第三步，折出內側矩形的對角線AB，并把它折到圖③中所示的AD處.

第四步，展平紙片，按照所得的D點折出DE，如圖④.

【問題解決】

（1） 圖③中AB=_______cm；

（2） 你發現圖④中有幾個黃金矩形？請都寫出來，并選擇其中一個證明你的發現.

這兩個問題都沒有難倒我，我給出下面的解答：

即矩形MNDE為黃金矩形.

我第一個把作業提交老師后，老師肯定了我的解答，看著其他同學還在“埋頭苦干”，老師讓我繼續把“成果擴大”（他常常這樣要求我們）.

∴四邊形ADQB是平行四邊形. （一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.）

∴平行四邊形ADQB是菱形. （一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形.）

我又一次送給老師檢查，老師很滿意我的這一發現，仔細想了想，在圖③中，連接BD，寫出一個問題：

以AQ、BD為兩直角邊作直角三角形，求該直角三角形斜邊的長.

老師又一次表揚了我的思路貫通的速度，并引導我們繼續分析出一種優化的思路：

由上面知道四邊形ADQB是菱形. 如下圖，平移對角線BD到QP的位置.

反思：老師的這種解法避開了大量繁瑣的運算，幾乎沒有運算量，讓我心生佩服. 后來老師讓我在黑板上給大家完整地講了一遍我的發現和證明. 對最后一個問題，還有同學提出也可以在菱形ADQB對角線分成的四個小直角三角形中尋求突破.

劉老師點評：史寧中教授曾說：“計算簡單的方法往往需要付出邏輯思維的代價.”在這道題的最后一問題突破中，這句話體現得尤為充分. 另外，這道題還讓我想起了波利亞的一句話：“在你找到第一個蘑菇后（或得出第一個發現以后）要環顧四周，因為他們總是成堆生長的. ”就把這句話送給喜歡“成果擴大”的“小樊同學們”.