有效梳理 克服難點

【難點提示】

1. 正確理解和掌握一般形式中的a≠0，“項”和“系數”的含義.

2. 利用配方法獲得一元二次方程求根公式的過程及思路.

3. 由一元二次方程的根的情況求方程中字母系數的取值.

4. 一元二次方程與不等式的關系，一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程與二次函數的關系.

5. 一元二次方程的實際運用.

【例題分析】

1. 關于x的一元二次方程（3-x）（3+x）-2a（x+1）=5a的一次項系數為_______.

【分析】整理為ax2+bx+c=0的形式，注意所謂一次項是含有“x”一次的項，和其他字母無關.

解：原方程可化為：x2+2ax+7a-9=0，故一次項系數為2a.

2. 如果關于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有解，求m的取值范圍.

【分析】本題并沒有說明該方程是一元二次方程，所以分成兩種情況.

①若是一元一次方程，則m=2.

②若是一元二次方程，則m≠2，但方程有解，必須Δ≥0，從而求出m的范圍.

解：若是一元一次方程，則m=2.

若是一元二次方程，則m≠2，但方程有解，必須Δ≥0. 即（-2）2-4×（m-2）×1≥0. 易得m≤3.

綜上所述，得m≤3.

3. 解方程：

① x2-2■x-1=0；

②（y-1）2-5（y-1）-14=0.

【分析】題①適用配方法和公式法.

題②適用各種方法，但是運用因式分解的方法較為簡單.

解：②因式分解得： [（y-1）-7][（y-1）+2]=0，（y-8）（y+1）=0.

從而得y1=8，y2=-1.

4. 已知關于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0.

（1） 證明這個方程有兩個不相等的實數根.

（2） 求出這個方程的實數根.

（3） 若此方程的兩個根在-2與4之間，求實數m的取值范圍.

【分析】本題是關于x的一元二次方程，其中含有參數m. 題（1）考查根的判別式，只需要代入Δ=b2-4ac計算即可. 題（2）求解可用因式分解法，也可以用公式法. 題（3）字母m的范圍可由x的范圍確定. 應先判斷兩個解的大小關系，再列出相應不等式組.

解：（1） Δ=b2-4ac=（-2m）2-4×1×（m2-1）=4>0.

所以原方程有兩個不相等的實數根.

（2） x2-2mx+（m-1）（m+1）=0.

[x-（m-1）][x-（m+1）]=0.

（x-m+1）（x-m-1）=0.

x1=m-1，x2=m+1.

（3） 因為m-1

m-1>-2，m+1<4. 求得-1

5. 已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數根，第三邊長為5.

（1） k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

（2） k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長.

【分析】關于x的一元二次方程中含有參數k，要求k的值，必須要有一個條件. （1）中增加了直角三角形的條件. （2）中增加了等腰三角形的條件. 本題的立意就是根據新增加的條件得出有關k的方程，這個關于k的方程可以通過根與系數的關系來列，也可以把關于x的方程的解求出來之后再列. 一般情況下，當根的判別式是一個數或是一個式子的平方時，我們選擇后者.

解：∵a=1，b=-（2k+3），c=k2+3k+2，

∴b2-4ac=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1，

∴x=■，x1=k+2，x2=k+1.

∴AB、AC的長一個是k+2，另一個是k+1.

不妨設AB=k+2，AC=k+1.

（1） ∵Rt△ABC以BC為斜邊，∴AB2+AC2=BC2，∴（k+2）2+（k+1）2=25，解得k1=-5，k2=2.

當k=-5時，AB=-5+2=-3<0（不合題意），

當k=2時，AB=4，AC=3.

（2） 當△ABC是等腰三角形時，

①若AB=AC，可得方程k+2=k+1，此方程無解，所以AB≠AC.

②若AB=BC=5，可得方程k+2=5，∴k=3.

此時三角形三邊長為5、5、4，周長為14.

③若AC=BC=5，可得方程k+1=5，∴k=4.

此時三角形三邊長為5、5、6，周長為16.

∴當k=3時，△ABC是等腰三角形，其周長為14.

當k=4時，△ABC是等腰三角形，其周長為16.