明辨“是”“非”——“圓”相關概念剖析

在處理圓的有關問題時，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本質，會導致解題錯誤. 下面就圓的重要概念加以分析.

一、 弦、弧的概念

例1 如圖1，圖中有______條弦，______條直徑，圓中以A為端點的弧中，優弧有______條，劣弧有______條.

【分析】弦是指連接圓上任意兩點之間的線段. 圖中圓上共有四個點，連接任意兩點均可形成一條弦，所以共有6條弦：弦AB、AC、AD、BC、BD、CD. 我們把經過圓心的弦叫做直徑. 這6條弦中有1條弦AB經過圓心，故圓中只有1條直徑.可見：直徑是弦，但弦不一定是直徑. 弧是指圓上任意兩點間的部分. 圓上A、B兩點之間可形成兩條弧，因為AB是直徑，所以它們是兩條等弧，我們把這兩條弧都叫作半圓. 不難發現：半圓是弧，但弧不一定是半圓. 圓上A、C兩點和A、D兩點之間也都形成兩條弧，其中弧ADC、弧ACD大于半圓稱之為優弧，弧AC、弧AD小于半圓，稱之為劣弧. 而半圓既不是優弧，也不是劣弧. 所以圓中以A為端點的6條弧中，優弧有2條，劣弧有2條，半圓有2個.

例2 下列結論正確的有：______. （填序號）

①長度相等的兩條弧是等弧；②同一條弦所對的兩條弧是等弧；③面積相等的兩個圓是等圓；④周長相等的兩個圓是同心圓.

【分析】等弧是指在同圓或等圓中，能夠相互重合的弧. 長度相等的兩條弧不一定在同圓或等圓中，也不一定能夠重合，只能說明弧長的值相等，故①是錯誤的. 圓中任意一條弦都對兩條弧，直徑所對的兩條弧是等弧，但非直徑的弦所對的兩條弧，一條是優弧，一條是劣弧，不能重合，不是等弧，故②是錯誤的. 等圓是指能夠互相重合的兩個圓. 當兩個圓面積相等時，其半徑一定也相等，必然能夠重合，故③是正確的. 等弧、等圓的共同特征是“能夠互相重合”. 同心圓是指圓心相同，半徑不相等的兩個圓. 當兩圓周長相等時，只能判斷出半徑相等，其圓心不一定相同，故④是錯誤的.

二、 圓周角的概念

例3 在下列各圖中，圖______中的角是圓周角. （填序號）

【分析】頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 我們在判斷一個角是否為圓周角時只要抓住這個角是否同時滿足圓周角的這兩個特征. 圖①、圖③中的角的頂點分別在圓外和圓內，圖④中的角只有一邊和圓相交，圖⑤中的角兩邊都不和圓相交，故都不是圓周角. 圖②中的角滿足圓周角的兩個特征，是圓周角.

三、 外接圓、外心、內接三角形的概念

例4 下列命題中正確的是（ ）.

A. 三點確定一個圓

B. 三角形有且只有一個外接圓

C. 三角形的外心是這個三角形任意兩角的角平分線的交點

D. 圓有且只有一個內接三角形

【分析】關于“三點確定一個圓”的問題，當這三個點在同一條直線上時，無法確定一個點（圓心），使它到已知三點的距離相等，所以只有不在同一直線上的三點才能確定一個圓. 故A是錯誤的.三角形的三個頂點能并且只能確定一個圓，故B是正確的. 三角形的外心是指外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等，所以三角形的外心是這個三角形任意兩邊的垂直平分線的交點，故C是錯誤的. 圓的內接三角形是指三角形在圓的內部，且它的三個頂點都在已知圓上，所以已知圓內可以作無數個內接三角形，故D是錯誤的.

四、 點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系

例5 如圖2，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13，CD⊥AB于D，以點C為圓心，5 cm為半徑作⊙C，試判斷A、D、B三點與⊙C的位置關系.

【分析】這個問題是已知三個定點和一個定圓，要判斷定圓與三個定點的位置關系. 此時我們只要求A、D、B三點到圓心C的距離d，再分別與半徑（r=5）的大小進行比較，就能方便地確定. 若點在圓內？圳dr. 所以只要求出線段AC、DC、BC的長度即可.

由勾股定理得：BC=■=5，又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，

∴CD=■=■=■.

∵AC=12>5，∴點A在⊙C外.

∵CD=■<5，∴點D在⊙C內. ∵BC=5，

∴點B在⊙C上.

例6 如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，以點C為圓心，r為半徑的圓與AB有何位置關系？為什么？

【分析】圓心到直線的距離與半徑的大小關系決定了直線與圓的位置關系. 題中給出的條件是一個已知三邊大小的定三角形和一個定圓心、半徑r可以變化的動圓C，問題是要判斷動圓C和定線段AB的位置關系. 如何思考這個問題？我們能觀察到：隨著半徑r的由小變大，⊙C必然會和AB相切. 若設切點為D，則CD⊥AB，此時求出CD的長，則半徑r就可知. 相切的位置關系知道了，相離、相交的位置關系就迎刃而解了. 這種方法我們不妨把它叫作“以靜制動”的方法.

如圖4，作CD⊥AB于點D. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴BC=■=■=4（cm），

又∵S△ABC=■BC·AC=■CD·AB，

∴CD=■=■=2.4（cm）.

∴當0r，⊙C與AB相離；當r=2.4 cm時，d=r，⊙C與AB相切；當r>2.4 cm時，d

例7 （2012·江蘇常州）已知兩圓半徑分別為7、3，圓心距為4，則這兩圓的位置關系為（ ）.

A. 外離B. 內切C. 相交D. 內含

【解析】本題已知兩圓半徑大小和圓心距的大小，只要對圓與圓的位置關系的判斷方法清楚就易解此題. 根據兩圓的位置關系的判定：外離？圳d>R+r；外切？圳d=R+r；相交？圳R-r