有關圓的兩解問題

分類思想是數學的基本思想之一. 中考試題中經常設計兩解或多解題型，來考查同學們思維的嚴密性，倘若基礎知識掌握得不扎實，常會漏解. 九年級上冊的“圓”是初中階段的重點內容，而圓中兩解問題又是其中的難點，也是中考命題的熱點，現歸納如下：

一、 點與圓的位置關系

1. 點在圓內與圓外的位置不確定

例1 在同一平面內，已知點P到圓上各點的最大距離為5，最小距離為1，則圓的半徑為______.

【解析】由于本題未指明點P與圓的位置關系，因此，應分點P在圓內或點P在圓外兩種情況來考慮. 點P在圓內時，如圖1，AP=5，BP=1，AB=AP+BP=5+1=6，所以圓的半徑為3. 點P在圓外時，如圖2，AP=5，BP=1，AB=AP-BP=5-1=4，所以圓的半徑為2. 此類問題可擴展到一般情況，已知點P到圓上各點的最大距離為a，最小距離為b，則圓的半徑r可以分為：點P在圓內時，半徑r=■；點P在圓外時，r=■.

2. 點在圓弧上的位置不確定

例2 半徑為4的圓有內接△ABC，且圓心O到BC邊的距離為2. 求∠A的度數.

【解析】∠A是邊BC所對的圓周角.其頂點A分兩種情況：一是點A在BC邊所對的劣弧上（如圖3）；二是點A在BC邊所對的優弧上（如圖4）.

略解：過點O作OD⊥BC，D為垂足.連接OB、OC，易知∠BOC=120°，所以∠A=120°或60°.

二、 弦與圓的位置關系

1. 兩條平行弦與圓心位置不確定

例3 ⊙O的半徑為5 cm，AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB、CD間的距離.

【解析】題中的弦AB、CD都比⊙O的直徑小，所以圓心O的位置有可能在兩平行弦AB、CD的同側，也有可能在弦AB、CD的異側，如圖5、圖6兩種可能. 利用垂徑定理可求出OE=3 cm，OF=4 cm，所以AB與CD之間的距離為4-3=1（cm）或4+3=7（cm）.

2. 過圓上一點的兩弦與圓心位置不確定

例4 已知：弦AB=2■，AC=2■，⊙O的半徑為2. 求∠BAC的度數.

【解析】由于弦AB和CD可能在圓心的同側，也可能在圓心的異側，故有如圖7、圖8兩種可能情況.

根據垂徑定理及解直角三角形知識可求出.

解：過O點作OE⊥AB，垂足為E，作OF⊥AC，垂足為F，連接OA.

∵AB=2■，AC=2■，∴由垂徑定理，得AF=■，AE=■.

∴在Rt△AEO中，cos∠EAO=■=■，∠EAO=45°；

在Rt△AFO中，cos∠FAO=■=■，∠FAO=30°.

（1） 當AB、CD在圓心O的兩側時，如圖7，∠BAC=∠EAO+∠FAO=75°.

（2） 當AB、CD在圓心O的同側時，如圖8，∠BAC=∠EAO-∠FAO=15°.

∴∠BAC度數為75°或15°.

三、 兩圓的位置關系

1. 兩圓相切的位置不確定

例5 兩圓內切，一圓半徑為9，另一圓半徑為r，圓心距d=4. 則r為多少？

【分析】兩圓內切，圓心距等于兩圓半徑之差，由于本題兩圓半徑大小關系不確定，可能9>r，也可能9

解：當9>r時，9-r=4，則r=5； 當9

例6 已知：⊙O1與⊙O2相切，圓心距d=12，r1=5，求⊙O2的半徑r2（r1

解：（1） ⊙O1與⊙O2相外切時，d=r1+r2，

∵d=12，r1=5，∴r2=7；

（2） ⊙O1與⊙O2相內切時，d=r2-r1，

∵d=12，r1=5，∴r2=17.

∴⊙O2的半徑r2為7或17.

2. 公共弦與圓心的位置不確定

例7 AB為⊙O1與⊙O2的公共弦，⊙O1的半徑r1=17，⊙O2的半徑r2=10，AB=16，求△AO1O2的周長.

解：（1） O1與O2在AB的兩側，如圖9，

∵O1O2垂直平分AB，AB=16，∴AC=8.

∴由勾股定理得：

O1C=■=■=15，O2C=■=■=6.

∴O1O2=O1C+O2C=15+6=21.

∴△AO1O2的周長=O1A+O2A+O1O2=17+10+21=48.

（2） O1與O2在AB的一側，如圖10，∵O1O2垂直平分AB，AB=16，∴AC=8. ∴由勾股定理得：

O1C=■=15，

O2C=■=6.

∴O1O2=O1C-O2C=15-6=9. ∴△AO1O2的周長=O1A+O2A+O1O2=17+10+9=36.

∴綜上所述，△AO1O2的周長為48或36.

【說明】兩圓位置關系是指外離、外切、相交、內切、內含5種情況.

當然，圓中多解的問題不止上述幾個.本文未列出的同學們可以自己整理歸納.在解答那些未給出圖形的幾何問題或運動型問題時，同學們要盡可能畫出所有的情形并逐一進行討論，以此增強解題的完備性. 另外還要加強解題后的反思：此題還有其他情形嗎？還有其他解法嗎？……以此提高分析問題、解決問題的能力.