如何理解二次函數的相關概念

二次函數是刻畫現實世界和實際生活問題的一個有效數學模型，應用非常廣泛.學習二次函數使我們在了解了一次函數、反比例函數之后，對函數有更進一步的認識. 二次函數是初中階段研究的最后一個具體函數，也是最重要的，在歷年的中考題中占有較大比例.同時，二次函數和以前學過的一元二次方程有著密切的聯系，學習二次函數將為方程的解法提供新的途徑，并使我們深刻地理解“數形結合”的重要思想，更是我們今后高中解一元二次不等式的基礎. 要努力學好二次函數，先要深刻理解二次函數的相關概念.

一、 二次函數的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數且a≠0）的函數，叫做二次函數.這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a≠0，而b、c可以為零. 二次函數的定義域是全體實數，也就是說自變量x可以取一切實數. 我們把這個解析式叫做二次函數的一般式.

例1 判斷下列函數中哪些是二次函數？哪些不是二次函數？若是二次函數，指出a、b、c的值.

（1） y=3（x-1）2-1；（2） s=3-2t2；（3） y=（x+3）2-x2；（4） s=10πr2；（5） y=22+2x；（6） y=x4+2x2+1.

【解析】根據二次函數的概念我們可把上面的式子都化成形如y=ax2+bx+c的式子，從而知（3）和（5）不含x的二次項，故不是二次函數；（6）含x的四次項，故也不是二次函數；（1）是二次函數，其中a=3、b=-6、c=2；（2）是二次函數，其中a=-2、b=0，c=3；（4）是二次函數，其中a=10π、b=0、c=0.

例2 （1） 如果函數y=xk2-3k+2+kx+1是二次函數，則k的值是______；

（2） 如果函數y=（k-3）xk2-3k+2+kx+1是二次函數，則k的值是______.

【解析】此題著重強調二次函數的特征：自變量的最高次數為2次，且二次項系數不為0，所以（1）中k2-3k+2=2，k=0或3，而（2）中，k-3≠0，k的值只能為0.

例3 用30 m長的護欄，靠墻圍成一個矩形花壇，寫出花壇面積y（m2）與矩形邊長x（m）之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍.

【解析】一般二次函數自變量x的取值范圍是一切實數，但具體到實際問題，自變量的取值范圍是使實際問題有意義的值. y=15x-■x2（0

二、 二次函數的另外兩種表示方法

（1） 頂點式：y=a（x-h）2+k（a、h、k為常數，a≠0），其中點（h，k）為二次函數圖象（拋物線）的頂點.

（2） 交點式：y=a（x-x1）（x-x2），其中a≠0，x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標.

注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2-4ac≥0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示. 二次函數y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a（x-h）2+k的形式，其中h=-■，k=■.

例4 根據下列條件求二次函數的表達式：

（1） 二次函數圖象經過（0，-2），（1，2），（-1，3）三點；

（2） 二次函數圖象與x軸交點的橫坐標分別是x1=-3，x2=1，且與y軸交點為（0，-2）；

（3） 二次函數圖象的頂點坐標是-3，■，且圖象過點2，■.

【解析】（1） 設二次函數解析式為y=ax2+bx+c，把（0，-2），（1，2），（-1，3）三點坐標代入得：c=-2，a+b+c=2，a-b+c=3. 解得a=■，b=-■，c=-2，從而解析式為y=■x2-■x-2；

（2） 已知交點坐標（-3，0）和（1，0），故設交點式y=a（x+3）（x-1），再把x=0、y=-2代入上式，得a=■，所以解析式為y=■（x+3）（x-1）；

（3） 已知頂點坐標-3，■，設頂點式y=a（x+3）2+■，再把x=2、y=■代入上式，得a=■，所以解析式為y=■（x+3）2+■.

【小結】根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法. 用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便. 一般來說，有如下幾種情況：

1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

3. 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用交點式；

4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.

三、 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的結構特征及a、b、c的意義

（1） 等號左邊是應變量y，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2.

（2） a、b、c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.

a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，當a>0時，拋物線開口向上，當a<0時，拋物線開口向下；a的大小決定開口的大小，a大，開口小， 反之a小，開口大. 在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置，即對稱軸h=-■. c決定了拋物線與y軸交點的位置，即拋物線與y軸交點坐標為（0，c）. 總之，只要a、b、c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

例5 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ）.

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

【解析】弄清拋物線的位置與系數a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵.

由圖象知h=-■=2，故a、b異號，且4a+b=0；當y=-2時，由對稱知x的值有兩個；所以②③正確，故選B.

總之，二次函數的相關概念有很多，我們要在數形結合的基礎上來研究二次函數，只有這樣才能迅速、便捷地解答二次函數的相關問題，鍛煉我們的數學思維，增強學好數學的愿望與信心.