學(xué)好二次函數(shù)的三個(gè)重要方面

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是中考的熱點(diǎn)，下面就同學(xué)們應(yīng)該掌握的三個(gè)重要方面予以舉例說(shuō)明.

一、 運(yùn)用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性解題

例1 如圖，已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，點(diǎn)A、B均在拋物線(xiàn)上，且直線(xiàn)AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）.

A. （2，3） B. （3，2）

C. （3，3） D. （4，3）

【評(píng)析】根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)B就是點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，因而點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）.

例2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

則m的值為_(kāi)______.

【評(píng)析】本題的常規(guī)方法是先代入三個(gè)點(diǎn)求出函數(shù)解析式，然后取自變量x=4求出m的值. 此方法雖然可行，但有一定的計(jì)算量. 如果從該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性入手，可知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=■（1+3）=2. 橫坐標(biāo)為4與0的點(diǎn)恰為一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴m的值為-1.

練習(xí)1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（-2，6）、B（4，6）、C（1，-3），求該函數(shù)解析式.

【提示】可以用三點(diǎn)代入法，但考慮到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性也可以模仿上例判斷出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為C，改用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式y(tǒng)=x2-2x-2.

二、 判別由系數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式的符號(hào)

例3 右圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分. 圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn)（3，0），二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸為x=1. 給出四個(gè)結(jié)論：①b2>4ac； ②bc<0； ③2a+b=0； ④a+b+c=0. 其中正確的結(jié)論是_______.

【評(píng)析】學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，要能夠利用圖象判別系數(shù)及其代數(shù)式的符號(hào). 根據(jù)圖象的開(kāi)口方向確定二次項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)，開(kāi)口向下，a<0；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的位置確定b的符號(hào)，直線(xiàn)x=-■=1>0，又a<0，所以b>0，等式-■=1變形后可知③成立；根據(jù)圖象與y軸的交點(diǎn)位置確定c的符號(hào)，此題圖象與y軸交于正半軸，c>0，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷b2-4ac的符號(hào)，此拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（另一個(gè)交點(diǎn)延長(zhǎng)拋物線(xiàn)即可得），所以b2-4ac>0，故①正確；把橫坐標(biāo)x=1代入y=ax2+bx+c，得y=a+b+c>0，故④錯(cuò)誤. 用同樣的方法還可以判斷一些代數(shù)式的符號(hào)，如將x=3代入y=ax2+bx+c，得到y(tǒng)=9a+3b+c=0.

練習(xí)2 如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，且過(guò)點(diǎn)（-3，0）. 下列說(shuō)法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若（-5，y1）、（2，y2）是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，則y1>y2. 其中說(shuō)法正確的是（ ）.

A. ①② B. ②③

C. ①②④ D. ②③④

【提示】根據(jù)圖象得出a>0，b=2a>0，c<0，即可判斷①②正確；把x=2代入拋物線(xiàn)的解析式即可判斷③錯(cuò)誤，求出點(diǎn)（-5，y1）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，y1），根據(jù)當(dāng)x>-1時(shí)，y隨x的增大而增大即可判斷④正確. 本題答案為C.

三、 構(gòu)造二次函數(shù)解非函數(shù)題

例4 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（k-3）x-4=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且有一根1

【評(píng)析】若用求根公式，初中階段無(wú)法解出所列的不等式組. 我們知道二次方程與二次函數(shù)有密切的聯(lián)系，因此可以考慮構(gòu)造二次函數(shù)，借助于拋物線(xiàn)求解.

令y=x2-（k-3）x-4.

∵x1x2=-4<0，1

∴拋物線(xiàn)圖象大致如圖，由圖象知，當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值小于0；當(dāng)x=2時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值大于0，即1-（k-3）-4<0，4-2（k-3）-4>0，解得00，∴k的取值范圍為0

練習(xí)3 已知方程x2+（2m+6）x+2m+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根都小于3，求m的取值范圍.

【提示】令y=x2+（2m+6）x+2m+4，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn). 綜合考慮x=3時(shí)函數(shù)值大于0、x1+x2<6、Δ>0這三個(gè)條件可得出m的范圍為m>-■.

例5 如圖，在矩形ABCD中，AD=10，AB=20，動(dòng)點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q. 連PQ，M為PQ的中點(diǎn)，MN⊥QC，求線(xiàn)段BM的最小值.

【評(píng)析】線(xiàn)段BM的長(zhǎng)度與點(diǎn)P的位置有關(guān)，若設(shè)DP=x，由圖形關(guān)系可用含x的代數(shù)式表示MN和BN，由勾股定理BM2=BN2+MN2，可令y=BM2，重點(diǎn)在于建立y與x的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的最值求解.

【解答提示】設(shè)DP=x，BM2=y，則PC=20-x，易證MN是△PQC的中位線(xiàn)，∴MN=■=■，再由△ABQ∽△ADP，可得BQ=2x，QC=2x+10，QN=■=x+5，∴BN=BQ-QN=x-5，在Rt△BMN中，由勾股定理可得：

y=BM2=MN2+BN2=■2+（x-5）2=■（x-8）2+45.

∴當(dāng)x=8時(shí)，y最小=45，故線(xiàn)段BM最小=■=3■.

練習(xí)4 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P在邊AD上，MP⊥BP，求DM的最大值.

【提示】令A(yù)P=x，DM=y，易證△PDM∽△BAP，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立y與x之間的函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)最值求得線(xiàn)段DM的最大值為1.