巧設“元”解決利潤問題

蘇科版初中數學教材九年級上冊第98頁問題4如下：

某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當的降價措施. 經調查發現，在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件. 如果商場通過銷售這批襯衫每天盈利1 200元，襯衫的單價應降多少元？

這是一道與利潤有關的傳統型題目，在生活中有很多問題與它相類似.

一、 課本問題的探究

1. 建立數學模型

首先明確在這個問題中存在的A×B=C的數量關系：單件利潤×銷售數量=總利潤. 所以選擇用方程去解決問題最為合適.

其次分析本題中具體涉及的數量關系，因為本題的數量關系較多，所以可以采用列表的形式分析其中的數量關系：

2. 利用模型解決問題

列方程解應用題，一般情況下都采用直接設元，即求什么設什么.

解：設襯衫的單價降x元，

根據題意，得：（20+2x）（40-x）=1 200.

整理，得：x2-30x+200=0.

解這個方程，得：x1=20，x2=10.

答：襯衫的單價降10元或降20元.

3. 基礎模型的延伸

在課本例題的問題中，若在題目中增加“若商場需要盡快減少庫存”，那么原題答案在符合數學原理的同時，還應滿足應用型問題中檢驗答案的第二個原則——符合實際意義，則課本例題答案中的x2=10就應該舍去，而保留x1=20使得庫存盡快減少.

列方程解應用題就是把實際問題轉化成數學問題，然后由數學問題的解決而獲得實際問題的解決.而列方程解應用題最重要的是審題，審題是列方程的基礎，列方程是解題的關鍵，要在理解題意的基礎上恰當地設出未知數，準確地找出數量關系，從而正確地列出方程.

二、 例題的拓展與延伸

某商店進了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價5元出售，其銷售量就將減少100件. 如果商店銷售這批服裝要獲利潤12 000元，那么這種服裝售價應定為多少元？該商店應進這種服裝多少件？（蘇科版數學教材第100頁習題4.3題9）

【分析】這個問題中的基本數量關系和課本例題一樣，所用的分析的方法可以完全按照上題的過程來展開，利用表格分析. 所有的降低（或提高）若干元，銷量提高（或降低）若干件的問題，首先應轉化成降低（或提高）1元，銷量提高（或降低）若干件來表示. 但是本題與上題的區別在于求商品的定價.

方法一：如果按照列方程解應用題的一般習慣來看，直接設這種服裝售價應定為x元，那么在這個問題中用含x的代數式表示實際銷售數量就是本題的一個難點. 在列式時很多同學搞不清楚何時減50，何時減60.

根據題意，可列方程：

（x-50）800-■（x-60）=12 000.

解這個方程，得：x1=70，x2=80.

x1=70時，該商店應進這種服裝600件；

x2=80時，該商店應進這種服裝400件.

方法二：不妨采用間接設元法：設這種服裝應提價x元，

根據題意，可列方程：

（x+60-50）800-■x=12 000.

這樣更容易理解并列出方程，并在解方程時相對比較容易求解.

綜合以上兩道課本題，在一元二次方程的利潤型問題中，無論是直接設元還是間接設元，一般設降價或漲價為未知量較為簡便.

三、 中考鏈接

1. （2012·山西省）山西特產專賣店銷售核桃（如圖），其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克. 后來經過市場調查發現，單價每降低2元，則平均每天的銷售量可增加20千克. 若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2 240元，請回答：（1） 每千克核桃應降價多少元？（2） 在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價幾折出售？

解：（1） 設每千克核桃應降價x元，

根據題意，得？搖（60-40-x）100+■x=2 240

解方程得：x1=4，x2=6.

答：每千克核桃應降價4元或6元；

（2） 由（1）可知每千克核桃應降價4元或6元，因為要盡快讓利于顧客，所以每千克核桃應降價6元，此時，售價為60-6=54元，■×100%=90%.

答：該店應按原售價9折出售.

2. （2013·江蘇淮安）小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經理給出了如下優惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元. 按此優惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1 200元，請問她購買了多少件這種服裝？

解：設購買了x件這種服裝，根據題意得出：[80-2（x-10）]x=1 200.

解得：x1=20，x2=30.

當x=30時，80-2（30-10）=40（元）<50，不合題意，舍去.

答：她購買了20件這種服裝.

3. （2013·山東泰安）某商店購進600個旅游紀念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低x元. 銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出. 如果這批旅游紀念品共獲利1 250元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？

解：設第二周每個旅游紀念品的銷售價格為x元，由題意得出：200×（10-6）+（10-x-6）（200+50x）+[（4-6）（600-200-（200+50x）]=1 250，

即800+（4-x）（200+50x）-2（200-50x）=1 250，

整理得：x2-2x+1=0.

解得：x1=x2=1，∴10-1=9.

答：第二周的銷售價格為9元.