“一元二次方程”中蘊含的思想方法

一、模型思想

從七年級學習數學以來，我們已掌握了許多刻畫現實世界的數學模型，如一元一次方程模型、不等式模型、函數模型等，通過本章的學習我們認識到一元二次方程是又一個重要的數學模型. 數學來源于生活，服務于生活，當一個問題情景中蘊含未知量和數量關系時，方程就自然而然出現了，所以當我們用數學的眼光去看實際問題時，最關鍵的是確定用數學的方法解決和解釋實際問題，至于何時會出現一元二次方程，不能刻意而為，而是順應背景、水到渠成的，并且它和一元一次方程模型一樣，都屬于方程模型.

二、 抽象思想

1. 把現實生活中的具體問題抽象到數學中來

如：長5 m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3 m. 問：梯子底端向右滑動的距離會是梯子頂端向下滑動的距離的2倍嗎？

在這樣的生活情境中，我們可以抽象出一個三邊長分別是3 m、4 m、5 m的直角三角形，梯子底端向右滑行的距離和頂端向下滑動的距離是兩個未知量（實際上只有一個未知量，設為x），本題的目標是要找到一個梯子頂端向下滑動的距離x的值，使得（4-x）、（3+2x）和5構成一個斜邊長為5的直角三角形，因此就得到了等量關系（4-x）2+（3+2x）2=52，整理得到一個含有未知數x的方程：5x2+4x=0. 這個實際問題中，關鍵是抽象出幾何圖形，題中的等量關系則是建立方程模型的條件.

2. 從數量到數量的抽象

解一元二次方程的源頭是直接開平方法，如果一個一元二次方程能夠變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數），當k≥0時就可以用直接開平方法求解. 同學們都知道這種解一元二次方程的方法叫配方法，但關鍵是如何“配方”得到（x+h）2的形式.

我們不妨從熟悉的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2進行抽象：將a看作x，將b看作h，則上面的等式就可以表示為x2+2hx+h2=（x+h）2，其中2h相當于x的一次項系數，則h相當于x的一次項系數的一半. 由此我們不難抽象出配方法的一般步驟：對于任何一個一元二次方程，我們首先將二次項系數化為1，在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，就可以得到（x+h）2的形式.

抽象的思想無處不在，我們從乘法公式中抽象出了數學中重要的配方法. 你能不能在今后的數學學習中用抽象的思想得到某個結論或方法呢？去嘗試一下吧！

三、 化歸思想

“化歸”就是把待解決的問題，通過某種轉化，歸結為能用已掌握的舊知識去解決的問題. 一元二次方程有直接開平方法、配方法、因式分解法和公式法這幾種解法，都是用“化歸”的數學思想方法求解.下面就四種方法分別加以說明.

直接開平方法：適用于等號左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負實數的形式，形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程.我們可以利用平方根的定義“化歸”為兩個一元一次方程去解，即有一元一次方程為mx+n=±■，分別解這兩個一元一次方程就得到原方程的兩個根.

配方法：適用于二次項系數為1，一次項系數為偶數形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（當然一般的形如ax2+bx+c=0，a≠0也可用，但不一定是最合適的方法）.這類方程我們可以通過已掌握的配方的手段，把原方程“化歸”為上述形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程，然后再用直接開平方法求解.

因式分解法：這種方法平時用得較多，適用于等式左邊能分解成幾個一次因式的積，而右邊必須為零形式的一元二次方程.這類方程我們可以通過已掌握的因式分解的手段，把原方程轉化為形如（a1x+c1）（a2x+c2）=0的方程，從而“化歸”為a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分別求出這兩個一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的兩個解.

公式法：公式法的實質就是配方法，只不過在解題時省去了配方的過程，所以解法簡單.但計算量較大，只有在不便運用上述三種方法，且各項系數的絕對值為較小數值的情況下才考慮使用該方法.

化歸思想就是把新問題轉換成熟悉的舊方法去解決，在初中數學中還有許多運用：如解二元一次方程化歸為一元一次方程，分式方程化歸為整式方程，二元二次方程組化歸為二元一次方程組或代入消元化歸為一元二次方程，平行四邊形、矩形、梯形通過添加輔助線化歸為三角形問題等. 由此可見熟練掌握化歸數學思想，對增強解題能力、改善知識結構、提高數學素養大有裨益.

四、 數學方法

回顧解一元二次方程的各種解法，從中我們能感受到不少常見的數學方法.

1. 學習知識的路徑：從簡單到復雜

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），先學習ax2=0（a≠0）的解法，再學習ax2+bx=0（a≠0）的解法，最后學習ax2+bx+c=0（a≠0）的解法.

2. 解決問題的辦法：“降次”轉化

無論是直接開平方法、配方法或因式分解法，都實現了從一元二次方程向一元一次方程的轉化，這也告訴了我們，當遇到新問題時，應該嘗試用已有的知識或方法去解決未知的問題，將不熟悉的轉化為熟悉的，將未知的轉化為已知的，將高次的轉化為低次的，將多元的轉化為少元的.

3. 從特殊到一般

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）通過配方，得到x+■2=■，當b2-4ac≥0時，可以得到方程的求根公式x=■. 因此，只要一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式非負，就可以直接由公式計算得到方程的根，具有一般性.

4. 對立和統一

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有沒有根，首先看b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時方程有實數根，當b2-4ac<0時方程沒有實數根，這兩種情形既是對立的，但同時它們又統一到了對b2-4ac的符號的判別上來.

同學們，數學的思想方法從來都不是空洞的，和它一路同行吧，我們會站得更高，行得更遠！