垂徑定理例題的變式拓展

課本中的例題、習題具有較強的示范性、知識性和可變性，通過對其深入挖掘再縱向拓展、橫向聯系，就會讓呈現的知識“源于課本，又高于課本”. 這樣不僅能加深概念、原理的理解、疏通知識之間的聯系，而且對培養思維品質、拓展解題思路、提升學習能力具有十分重要的作用. 本文就以垂徑定理為例，創設變式，使得同學們能夠在不同角度、不同層次下重新認識垂徑定理.

一、 定理的拓展

垂徑定理是這樣闡述的：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧. 寫成數學符號語言就是：如圖1，∵CD⊥AB ，CD是直徑，∴AM=BM、■=■、■=■. 而在具體問題中，直徑不一定完整，可以是半徑或過圓心的線段，下面是幾種常見的垂徑定理基本圖形的變式圖，根據以下變式圖形可以寫出相應的符號語言：

如圖2，∵OC⊥AB，OC是半徑，∴AM=BM，■=■.

如圖3，∵DM⊥AB，DM經過圓心，∴AM=BM，■=■.

如圖4，∵OM⊥AB，OM經過圓心，∴AM=BM.

二、 例題的拓展

蘇科版教材第114頁例2：

已知：如圖5，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點. AC與BD相等嗎？為什么？

解：AC=BD. 理由：過點O作OP⊥AB，垂足為P.

∵OP過圓心，OP⊥AB，∴PA=PB，PC=PD，∴PA-PC=PB-PD，即AC=BD.

方法歸納：圓心到弦的距離叫做“弦心距”（如圖4中的線段OM），它也是圓中十分重要的輔助線. 我們經常通過作弦心距，構造垂徑定理的基本圖形來解決問題.

變式1：如圖6，⊙O交△OAB的邊AB于點C、D. 如果OA=OB，那么AC與BD是否相等？為什么？

變式2：如圖7，AB、CD是⊙O的兩條平行弦. ■與■相等嗎？為什么？

【分析】變式1的第一問相當于是在例題基礎上少了一個大圓，但相應又增加了OA=OB這個條件，這兩個條件其實是等同的，所以方法也是一樣的，過圓心作弦心距構造垂徑定理的基本圖形即可. 變式2與例題相比，前者是同一個圓中兩條弦平行，通過作弦心距無法說明，但只要過圓心作垂直于這兩條弦的半徑或直徑利用垂徑定理就可以解決，也就是說，垂徑定理不僅能推導出線段相等也能推出弧相等.

變式3：如圖8，（1） 在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離為3，求⊙O的半徑、弓形高CD的長.

（2） 在⊙O中，半徑為5，圓心O到AB的距離為3，求弦AB的長、弓形高CD的長.

（3） 在⊙O中，半徑為5，弦AB的長為8，求圓心O到AB的距離、弓形高CD的長.

（4） 在⊙O中，弦AB的長為8，弓形高CD的長為2，求⊙O的半徑、圓心O到AB的距離.

【分析】解決圓內半徑（或直徑）、弦長、弦心距、弓形高的問題時，常見輔助線是作弦心距、連接半徑，構造 “垂徑三角形”，即圖中的△OAC，它的邊AO是半徑、邊OC是弦心距、邊AC是弦AB的一半，已知半徑（或直徑）、弦長、弦心距、弓形高中的任意兩個量就能求出另外兩個量，尤其要注意在已知弦長、弓形高求半徑時，要用方程思想解決.

練習：（1） 如圖9，已知∠C=90°，⊙C與AB相交于點D，AC=5，CB=12，求AD的長.

（2） 如圖10，圓內一弦CD與直徑AB相交成30°，且分直徑為1 cm和5 cm，則圓心到這條弦的距離為多少？CD長為多少？

【分析】練習（1）中已知半徑，要求弦長，根據常用思路，作弦心距構造“垂徑三角形”的方法，只需要求出弦心距即可，利用面積法可求直角三角形斜邊上的高即可求出弦心距，已知半徑和弦心距，便可求出弦長. 練習（2）的條件較為隱蔽，直徑、弦心距均未直接告知，這也正是本題難點所在，但細心觀察可以發現直徑較易求，過圓心向CD作垂線，連接OD，仍可構造“垂徑三角形”，但如何求出弦心距是關鍵，這里需要同學們發現含30°角的直角三角形，已知斜邊，可求對邊，對邊即弦心距，最終也就轉化為在“垂徑三角形”中，已知直徑（半徑）和弦心距，可以求弦長.

變式4：如圖11，已知：AB和CD是⊙O內的兩條平行弦，AB=6 cm，CD=8 cm，⊙O的半徑為5 cm.

（1） 兩條平行弦所夾的弧相等嗎？為什么？

（2） 求出AB與CD間的距離.

【分析】如果在同一個圓中同時出現兩條平行弦，根據上述變式2，可以說明這兩條平行弦所夾的弧相等，那么如何求這兩條平行弦之間的距離呢？我們已經知道已知半徑和弦長可求弦心距，如果在同一個圓中同時出現兩條平行弦，那情況又有兩種：一種是兩條弦位于圓心同側，兩弦距離即兩弦心距之差；一種是位于圓心異側，兩弦距離即兩弦心距之和.

當前，有很多同學感到在解決有關圓的問題時往往把握不住重點，只知其一，不知其二，稍作改變，就不知如何應對. 反復進行一題多變的變式訓練，既增長了知識，又培養了思維能力. 撥開數學問題的迷霧，看清數學的“廬山真面目”，才能真正領悟到數學之美！