在“圓”的世界里領悟數學思想

古希臘數學家畢達哥拉斯認為，一切立體圖形最美是球，一切平面圖形最美是圓. 而圓的學習，不僅要熟練掌握基礎知識，更要重視思想的學習. 數學思想方法是數學的精髓，也是將理論知識轉化為實踐技能的橋梁. 本文就帶領同學們到“圓”的世界里挖掘蘊含其中的數學思想，領略它美麗的風采.

一、 轉化思想

轉化思想是數學中最基本最重要的思想之一，它的實質是揭示問題的聯系. 通常要同學們把未知轉化成已知，將題目中不確定的關系轉化成確定的關系，將一般情況轉化成特殊情況來處理.

1. 圓中弧長和弦長的相互轉化

例1 如圖1，BC是⊙O的直徑，BD與EC是弦，BD=EC，說明AB=AC.

【分析】同學們的思路很清晰，會利用等角對等邊，把說明邊相等的問題轉化成說明角相等的問題. 如圖2，一部分同學通過說明三角形全等，實現∠B=∠C. 這種方法很好，利用了圓的半徑處處相等的隱含條件構造全等三角形實現角度轉化. 還有一部分同學會利用同圓中弧和這條弧所對的弦的關系，把弦相等的問題轉化成弧相等. 即通過BD=EC說明■=■，進一步說明■=■，從而實現∠B=∠C.

比較兩種方法，利用圓中弧和弦的相互轉化是解決圓中線段問題的有效手段.

練習：如圖3，CD是△ABC外角∠MCA的平分線，CD與△ABC的外接圓交于點D.

（1） 若∠BCA=60°，說明△ABD是等邊三角形；（2） 設點F為■上一點，且■=■，DF的延長線交BA的延長線于點E，說明AC·AF=DF·FE.

【分析】第二小題中要利用■=■，說明∠CDB=∠FDA，進一步得∠CDA=∠FDB，從而得∠FAE=∠CDA，為相似創造條件，得到AC·AF=DC·FE. 其次利用同弧所對的圓周角相等，對圓周角轉化后得到∠DBA=∠DAB，進一步轉化為■=■，得到■=■，從而得到DC=DF.

2. 圓中同弧所對圓周角、圓心角的轉化

例2 如圖4，AD是△ABC外接圓的直徑，AD=6 cm，∠DAC=∠ABC，求AC的長.

【分析】連接DC，如圖5，利用同弧■，就可以得到∠ABC與∠ADC相等，在Rt△ACD中實現求AC的目標. 所以同學們在圓中要善于觀察同弧所對的圓周角. 必要時構造同弧所對的圓周角轉化已知角度.

練習：如圖6，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD.

（1） P是■上一點（不與C、D重合），說明：∠CPD=∠COB；

（2） 點P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時，∠CP′D與∠COB有什么數量關系？

【分析】（1） 如圖6，連接OD，由垂徑定理可知，■=■，得到∠COB=■∠COD，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可知∠CPD=■∠COD，故∠CPD=∠COB.

（2） 由于∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，故∠CP′D+∠COB=180°.

二、 分類討論思想

分類討論在圓中也經常運用到，分類時必須遵循三條原則：（1） 分類標準必須統一；（2） 任何兩種情況不能重復；（3） 每一種情況都不能遺漏.

例3 A、B、C、D都在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O半徑為13，求以A、B、D、C為頂點的梯形的面積.

【分析】由于圓是軸對稱圖形，僅僅已知弦長，在圓中的位置是不確定的，所以要分兩種情況進行討論. 如圖7，分CD在優弧■和劣弧■上. 利用垂徑定理，我們可以分別求得梯形ABDC的高.

練習：（2012·江蘇南京）如圖8，A、B為⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合），我們稱∠APB為⊙O上關于A、B的滑動角.

（1） 已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角.

①若AB為⊙O的直徑，則∠APB=______；

②若⊙O半徑為1，AB=■，求∠APB的度數.

（2） 已知O2為⊙O1外一點，以O2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點，∠APB為⊙O1上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于點M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數量關系.

【分析】（1）①∵AB為圓O的直徑，

∴∠APB=90°. 故答案為：90°.

②如圖9，連接OA、OB、AB，∵圓O半徑為1，AB=■，∴OA2+OB2=AB2，

∴∠AOB=90°，

若點P在優弧AB上，則∠AP1B=■∠AOB=45°；

若點P在劣弧AB上，則∠AP2B=180°-∠AP1B=135°. ∴∠APB的度數為45°或135°.

（2） 同學們要探究∠APB與∠MAN、∠ANB的關系，就要考慮點P、M、N在圓中的位置，三個不定點要去研究，分類討論的標準是一個難點. 如圖10，要綜合考慮點P在優弧■或劣弧■上，點M、N在優弧■或劣弧■上，從而對∠APB、∠MAN、∠ANB進行分類討論. 所以，我們進行如下討論：

第一種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間.

如圖①，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN-∠ANB.

第二種情況：點P在⊙O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間.

如圖②，∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB.

第三種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間.

如圖③，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），

∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°.

第四種情況：點P在⊙O2內，如圖④，∠APB=∠MAN+∠ANB.

三、 類比思想

類比思想在探究題中經常用到. 它能夠解決一些看似復雜困難的問題. 從遷移過程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎上才能實現.

例4 如圖11，⊙O1與⊙O2相交于A、B，P為⊙O1優弧■上一點，PA、PB、PO1分別交⊙O2于C、D、E三點.

（1） 寫出CD與PE位置關系.

（2） 點P為劣弧■上一點時，（1）中結論是否成立？畫出圖形.

【分析】（1） 如圖12，易得∠PBA=∠ACD，由同弧所對圓周角相等得∠PBA=∠PMA，從而得到∠PMA=∠ACD，由于∠PMA+∠APM=90°，故∠PCD+∠APM=90°，也就是∠CNE=90°，即CD⊥PE.

這類題型由于點的位置不同，圖形肯定會發生變化，但類比問題（1），有很多本質沒有變：如圖13，直線PA交⊙O2于點D，直線PB交⊙O2于點C，直線PO1交⊙O2于點E. 所以，上一題的結論依然成立. 一般情況下這種題的說明思路也是一樣的.

（2） 如圖14，由同弧所對圓周角相等得∠BCD=∠BAP，∠HPB=∠HAB，所以又得∠CPE=∠HAB，由于HP是直徑，所以∠HAB+∠BAP=90°，所以∠PCD+∠CPE=90°，故CD⊥PE.

深入挖掘圓中的數學思想，掌握和深化數學思想，對于提升數學能力有著長遠的意義. 掌握數學思想方法，用以對數學問題的認識、處理和解決，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數學知識忘記了，數學思想方法也還是會印入你的邏輯思維中.