心中想明白，手下巧操作

圓是形狀優美、內涵豐富的圖形，它在實際生活中的應用很廣泛. 同學們認識了圓，學習了圓的一系列基本知識，那么能否把這些知識活學活用，解決一些與圓有關的實際問題？讓同學們體會數學的來源和數學的應用是課標的要求，近年來，中考一方面偏向于考查日常生活中圓的簡單應用，另一方面也出現了一類從實際生活和生產中取材，要求同學們先動手操作再應用圓的基本性質來計算或證明的新題型. 現例舉如下：

一、 圓的知識在日常生活中的簡單應用

例1 （2011·江蘇常州）已知扇形的圓心角為150°，它所對應的弧長20π cm，則此扇形的半徑是____________cm，面積是______cm2.

【解析】用扇形弧長和扇形面積公式直接求出半徑：設扇形的半徑是r，則由扇形弧長公式有■=20π？圯r=24. 由扇形面積公式可得：扇形面積為■×20π×24=240π.

例2 （2012·貴州畢節）第三十屆奧運會于2012年7月27日在英國倫敦開幕，奧運會旗圖案由五個圓環組成，圖1也是一幅五環圖案，在這個五個圓中，不存在的位置關系是（ ）.

A. 外離 B. 內切

C. 外切 D. 相交

【解析】觀察圖形，五個等圓不可能內切，也不可能內含；并且存在兩個圓只有一個公共點，即外切；存在兩個圓沒有公共點，即外離；存在兩個圓有兩個公共點，即相交. 因此它們的位置關系有外切、外離、相交. 故選B.

【點評】扇形中相關量的計算在生活中的應用非常廣泛，例如扇面、圣誕帽、甜筒，以及某些建筑的房頂設計制作等都與扇形有關. 圓與圓、圓與直線、圓與點的位置關系是本章中所要掌握的基本內容. 以與圓相關的位置關系或數量關系為考查目標，用背景公平、切合實際、富有趣味的題目檢驗同學們基礎知識的掌握程度，這種考題已逐步呈現于各地的中考試卷中.

二、 實際背景下與圓有關的操作探索題

例3 （2005·江蘇常州）如圖2，有一木制圓形臉譜工藝品，H、T兩點為臉譜的耳朵，打算在工藝品反面兩耳連線中點D處打一小孔. 現在只有一塊無刻度單位的直角三角板（斜邊大于工藝品的直徑），請你用兩種不同的方法確定點D的位置（畫出圖形），并且分別說明理由.

【解析】到現在為止，我們學習了很多線段中垂線的確定方法，本題有三種思路. 方法一：如圖3，根據垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦），過點O作TH的垂線l交TH于D，則點D就是TH的中點；方法二：如圖4，根據三角形的三條高交于一點、等腰三角形三線合一，分別過點T、H作HC⊥TO，TE⊥HO，HC與TE相交于點F，過點O、F作直線l交HT于點D，則點D就是HT的中點；方法三：如圖5，根據到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，過點T、H分別作圓O的切線，兩切線交于點G，連接OG得直線l，l與HT的交點D就是HT的中點.

【點評】俗話說條條大路通羅馬，但是三種方法競相呈現眼前時，孰優孰劣、孰簡孰繁顯而易見. 通過這道題同學們可以體會到隨著數學知識的積累，對很多問題的處理都可化繁為簡.

例4 （2012·江西省）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖6，沿弦AB折疊操作.

（1） 如圖7，折疊后的■經過圓心O時，求■的長度；

（2） 如圖8，當弦AB=2時，求折疊后■所在圓的圓心O′到弦AB的距離；

（3） 再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作：①如圖9，當AB∥CD，折疊后的■與■所在圓外切于點P時，設點O到弦AB、CD的距離之和為d，求d的值；②如圖10，當AB與CD不平行，折疊后的■與■所在圓外切于點P時，設點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結論.

【解析】圓本身就是軸對稱圖形，折疊前后的圖形又具有軸對稱性，所以本題的切入點就是構造軸對稱圖形，利用軸對稱性把問題的相關量轉化到等腰三角形和直角三角形中去解決. （1）如圖11，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到■的圓心角，再根據弧長公式計算，求得■的長度=■=■.

（2） 如圖12，連接O′A、O′B，過點O′作O′E⊥AB于點E，可得△AO′B為等邊三角形，根據三角函數的知識可求得折疊后■所在圓的圓心O′到弦AB的距離為■.

（3） ①如圖13，■與■所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交AB于點H，交CD于G，交■于點E，交■于點F，根據垂徑定理及折疊性質可證點P在EF上，進而求點O到AB、CD的距離之和d為：

d=PH+PG=■PE+■PF=■（PE+PF）=2.

②當AB與CD不平行時，根據三角形中位線定理可證線段相等，再根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證. 證明如下：

如圖14，設O′、O″為■和■所在圓的圓心.

∵點O′與點O關于AB對稱，點O″與點O關于CD對稱，

∴點M為OO′的中點，點N為OO″的中點.

∵折疊后的■與■所在圓外切，

∴連心線O′O″必過切點P.

∵折疊后的■與■所在圓與⊙O是等圓.

∴O′P=O″P=2.

∴PM=■OO″=ON，PN=■OO′=OM.

∴四邊形OMPN是平行四邊形.

【點評】本題的綜合性很強，涉及圖形翻折變換的軸對稱性、等邊三角形的判定和性質、兩圓相切的性質、平行四邊形的判定、垂徑定理、弧長公式、解直角三角形和三角形的中位線定理等知識點. 解決這類問題同學們不僅要有扎實的基本功，更重要的是根據題目的關鍵信息找到切入點，即根據題意聯系到相關的性質和定理，并添加適當的輔助線構造基本圖形，將問題各個擊破.

希望以上幾個例題的解析對同學們有所幫助，以后再遇到有關圓的實際問題時能做到“心中想明白，手下巧操作”.