從例題出發

【例題】已知拋物線y=ax2+bx+c頂點坐標為（4，-1），與y軸交于點（0，3），求拋物線的解析式.

【解析】題目中給出的是一般式，如果將頂點代入頂點坐標公式，將交點（0，3）代入解析式，會得到二元一次方程組，求解過程麻煩，計算量也比較大. 根據頂點坐標為（4，-1），重新設解析式為頂點式y=a（x-4）2-1（a≠0），此時解析式中只含有一個待定系數a，只需將交點（0，3）代入其中，便會得到關于a的一元一次方程，很容易求出a =■，得出所求解析式為y=■（x-4）2-1.

【變式網絡】

頂點式對稱軸、最值→變式1

對稱軸、任意兩點→變式2

最高點→變式3

頂點在特殊直線上、對稱軸→變式4

變式1 二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為x=3，最小值為-2，且過點（0，1），求此函數的解析式.

【解析】此題條件中的對稱軸為x=3，最小值為-2，其實就是告訴我們頂點坐標為（3，-2），將二次函數解析式重新設為y=a （x-3）2-2（a≠0），再代入點（0，1）即可求出a=■，得出所求解析式為y=■（x-3）2-2.

變式2 拋物線的對稱軸是x=3，且過點（4，-4）、（-1，2），求此拋物線的解析式.

【解析】此題并沒有完全給出頂點坐標，對稱軸為x=3. 就是告訴了我們頂點的橫坐標為3，同樣設頂點式y=a（x-3）2+b （a≠0），代入（4，-4）、（-1，2）這兩個點到解析式中，我們只需要解關于a、b的二元一次方程組a+b=-4，16a+b=2.求得a =■，b=-■，得出所求解析式為y=■（x-3）2-■.

變式3 二次函數y=-x2+bx+c圖象的最高點是（-1，-3），求b、c的值.

【解析】解析式中的a為-1，最高點（-1，-3）即為頂點坐標，不需要計算，直接表示出解析式為y=-（x+1）2-3，整理成一般形式，即可得到b、c的值分別為-2和-4.

變式4 二次函數y=ax2+bx+c的頂點在x軸上，對稱軸為x=3且經過點（2，-1），求此函數的解析式.

【解析】解析式的頂點在x軸上，即可設為y=a（x-h）2. 又因為對稱軸為x=3，則h=3，所以y=a（x-3）2，再代入點（2，-1），即可求得a=-1，從而求得解析式為y=-（x-3）2.