數學思想在二次函數中的應用

數學知識和數學思想是數學的兩大支柱. 數學思想是數學知識的靈魂，是鍛煉數學能力、形成數學意識的橋梁. 數學思想方法是從數學知識中抽象概括出來的對數學內容的本質認識. 數學思想在《二次函數》這一章中有較多的應用，本文對有關應用歸納如下，供同學們學習參考.

一、 方程思想

通過列方程（組）求解數學問題的一種解題策略，我們稱之為方程思想. 在本章中許多問題都可以通過列、解方程（組）解決，其中方程思想體現最多的是利用待定系數法求二次函數解析式.

例1 已知二次函數的圖象頂點是（1，-4），且經過點（3，0），求這個二次函數的解析式.

【分析】為了拓寬同學們的視野，我們分別采用一般式、頂點式及交點式三種方法求二次函數解析式.

【解法1】設二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c，根據題意，a+b+c=-4，9a+3b+c=0，-■=1.

解得a=1，b=-2，c=-3.

所以二次函數解析式為：y=x2-2x-3.

【解法2】因為拋物線的頂點為（1，-4），所以設二次函數的解析式為：y=a（x-1）2-4，把（3，0）代入上式，得a（3-1）2-4=0，解得a=1，則二次函數解析式為：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

【解法3】因為拋物線的頂點為（1，-4），且經過點（3，0），可知拋物線經過點（-1，0），所以設二次函數的解析式為：y=a（x-3）·（x+1），把（1，-4）代入解析式，解得a=1，則二次函數解析式為：y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.

【點評】方程思想體現了已知與未知的對立統一關系，解法1是設一般式求解，即利用頂點坐標公式和點的坐標滿足解析式來列方程組；解法2是利用頂點式求解；解法3利用拋物線與x軸的兩個交點，得到交點式解析式，然后把點（1，-4）代入所設的解析式，從而得解. 顯然解法2是本題的最佳解法.

二、 數形結合思想

“數無形時少直觀，形少數時難入微 ”，數形結合思想就是充分利用數量關系和圖形的結合，尋求解題思路，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，從而達到以形助數、以數解形的效果.

例2 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個結論：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c<0；④2c<3b；⑤a+b>m（am+b）（m≠1），其中正確結論的個數有（ ）.

A. 2個 B. 3個

C. 4個 D. 5個

【分析】觀察拋物線的位置走向、關鍵點的位置坐標以及解析式中各系數與圖象的對應關系，從而作出判斷.

解：觀察圖象可知，拋物線開口向下，得a<0，因為拋物線的對稱軸x=-■=1，所以b=-2a>0，因為拋物線與y軸的交點在y軸的上方，可得c>0，則abc<0，即①錯誤. 根據圖象與拋物線的對稱性可知，當x=-1時，y<0，當x=2時，y>0，從而可得a-b+c<0，4a+2b+c>0，即②③錯誤. 根據以上的判斷，a-b+c<0，b=-2a，把a=-■代入a-b+c<0得，-■-b+c<0，從而可得2c<3b，即④正確. 根據圖象可得，當x=1時，y有最大值=a+b+c，當x=m≠1時，y=am2+bm+c，從而可得a+b+c>am2+bm+c，化簡得a+b>am2+bm，a+b>m（am+b）（m≠1的實數），即⑤正確.所以應選A.

【點評】二次函數的圖象與二次函數中的字母系數有著密切關系，利用二次函數的圖象信息，將數與形有效地結合與轉化，根據圖象信息轉化為方程或不等式再求解，從而較好地實現以形助數、以數解形的效果，這也是近幾年中考的熱點.

三、 函數模型思想

函數模型思想意在把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為數量間關系，即用數學語言描述實際現象. 生活中的許多問題，如最大利潤、最小成本、方案最優化等，常常需要建立函數模型解決.

例3 某賓館客房部有60個房間供游客居住.當每個房間的收費定為每天200元時，房間可以住滿；當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.對游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.設每個房間每天的定價增加x元，求：

（1） 房間每天的入住量y（間）關于x（元）的函數解析式；

（2） 該賓館每天的利潤W（元）關于x（元）的函數解析式；當每個房間的定價為每天多少元時，W取得最大值.

【分析】每天的入住量=總房間數-每天的定價增加量÷10，每天的房間收費=每間定價×每天入住量，每天的利潤=每天的房間收費-各種費用總和.

解：（1） y=60-■x；

（2） W=（200+x）60-■-20×60-■，即W=-■x2+42x+10 800=-■（x-210）2+15 210. 當x=210時，W有最大值15 210，此時，x+200=410，即當每個房間的定價為每天410元時，W有最大值是15 210元.

【點評】二次函數是能夠刻畫現實生活中某些情境的數學模型. 一般先根據題意把實際問題中的條件轉為數學條件，再確定函數解析式，利用函數解析式去解決實際問題. 求解過程中關鍵要求出自變量的取值范圍，再運用二次函數的性質求解.

四、 轉化思想

轉化思想是將未知問題或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比等途徑，轉化為我們已解決或易于解決的問題.簡單地說，就是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，通過轉化，使復雜問題變得簡單.

例4 利用函數圖象判斷方程2x2-x-1=0有沒有實數解，若有，求出它的解（精確到十分位）.

【分析】求一元二次方程的近似解可以轉化為用函數圖象解方程，這里介紹兩種方法：一是看函數y=2x2-x-1與x軸交點的橫坐標；二是看二次函數與一次函數圖象交點的橫坐標，如看函數y=2x2與y=x+1的圖象的交點的橫坐標.

【解法1】設y=2x2-x-1，則方程2x2-x-1=0的解就是該函數圖象與x軸交點的橫坐標. 同學們不妨在平面直角坐標中畫出函數y=2x2-x-1的圖象，設其與x軸交點為A、B，則點A、B的橫坐標x1、x2就是方程的解.由圖象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【解法2】在平面直角坐標系中，畫出函數y=2x2與y=x+1的圖象，得到兩函數圖象的兩個交點A、B，且A、B兩點的橫坐標x1、x2就是方程的解.由圖象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【點評】轉化思想就是換一種方式去思考，使問題朝著有利于解決的方向去發展.本例把求一元二次方程的近似解轉化為利用函數圖象解方程，從而達到化抽象為具體、化復雜為簡單的效果. 轉化思想在本章中有很多的應用，如通過平移二次函數圖象把復雜的二次函數轉化為簡單的二次函數，如通過觀察二次函數的圖象巧妙地求解一元二次不等式問題以及一元二次方程的有無實數解問題，如把實際問題中的求最值問題轉化為二次函數的求最值問題等等.學好用好轉化思想，有如順水推舟，能大幅提升解題能力.

五、 分類思想

當問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別求解，這種方法稱之為分類討論思想. 分類必須遵循以下兩條原則：（1） 每一次分類要按照同一種標準進行；（2） 不重復，不遺漏.

例5 如圖2所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方），若△OMN的面積為S，直線l的運動時間為t秒（0≤t≤4），求S關于t的函數關系式.

【分析】當0≤t≤4時，隨著直線l的平移，點N在線段OC上，點M可能在線段OA上，也有可能在線段AB上，因此計算△OMN的面積時要進行分類討論.

解：當0≤t≤2時，點M在線段OA上，ON=t，MN=■t，S=■ON·MN=■t2；

當2≤t≤4時，點M在線段AB上，ON=t，MN=2■，S=■ON·MN=■t.

例6 若函數y=（a-1）x2-2ax+a與x軸總有交點，求a的取值范圍.

【分析】由于題設中未說明函數的次數，也未說明圖象與x軸的交點個數，因此題設中的函數可能是二次函數也可能是一次函數.

解：當a-1=0時，即當a=1時，原函數是一次函數y=-2x+1，顯然與x軸有一個交點. 當a-1≠0時，解得a≠1，原函數為二次函數，由函數與x軸總有交點，可得：Δ=4a2-4（a-1）a≥0， 最終得a≥0且a≠1. 綜上可得，a的取值范圍為a≥0.

【點評】在二次函數這一章節中，分類思想的應用有很多，我們要認真審題，找出各種可能的情況，通過對各種情況的分析，全面、透徹地解答問題. 在對問題的分類討論時，要克服思維的片面性，防止漏解、錯解.