“一元二次方程”中考考點透視

一元二次方程是中學數(shù)學的一個重要內(nèi)容，它在每年中考中占有十分重要的地位，它既有獨立考查的試題，更有廣泛滲透到其他方面的綜合考查. 它也是高中階段學習的基礎，在整個中學數(shù)學學習中起著承上啟下的作用.一元二次方程主要有三部分內(nèi)容，分別是一元二次方程的概念、一元二次方程的解法、一元二次方程的應用. 下面就近年中考試卷中出現(xiàn)的例題作簡單的闡述，希望對同學們今后的學習有所幫助.

考點1 一元二次方程的基本概念

例1 （2012·貴州安順）已知1是關于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一個根，則m的值是（ ）.

A. 1 B. -1

C. 0 D.無法確定

【解析】本題考查了一元二次方程的根的定義和一元一次方程的解法. 把x=1代入原方程，建立關于m的一元一次方程，從而解得m的值為-1，故選B.

【點評】本題有時還會讓同學們求出此方程的另一個根，只要把m=-1重新代入原方程，求出一元二次方程的根即可.

考點2 一元二次方程的解法

例2 （2013·山東濱州）一元二次方程2x2-3x+1=0的解為______.

【解析】認真審題后發(fā)現(xiàn)顯然應選擇因式分解法. 分解因式得（x-1）（2x-1）=0，可得出兩個一元一次方程x-1=0及2x-1=0，從而求出方程的解x1=1及x2=■.

【點評】一元二次方程的解法有直接開方法、配方法、公式法和因式分解法，在解題的過程中要根據(jù)方程的特點選擇適當?shù)姆椒?

考點3 一元二次方程根的判別式

例3 （2013·四川瀘州）若關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）.

A. k>-1 B. k<1且k≠0

C. k≥-1且k≠0D. k>-1且k≠0

【解析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式Δ=b2-4ac的值的符號就可以了，因為二次項含字母系數(shù)k，所以還必須滿足k≠0，故選D.

【點評】此題主要考查了根的判別式，運用根的判別式判斷一元二次方程的根的情況時首先要保證方程是一元二次方程即二次項系數(shù)不為0，本題中k≠0. 一元二次方程根的情況與判別式Δ的關系：（1） Δ>0？圳方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2） Δ=0？圳方程有兩個相等的實數(shù)根；（3） Δ<0？圳方程沒有實數(shù)根.

考點4 一元二次方程的應用

例4 （2013·四川宜賓）某企業(yè)五月份的利潤是25萬元，預計七月份的利潤將達到36萬元. 設平均月增長率為x，根據(jù)題意所列方程是______.

【解析】本題屬于實際問題抽象出一元二次方程應用中的增長率問題. 一般表示為增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設這個增長率為x，根據(jù)“五月份的利潤是25萬元，預計七月份的利潤將達到36萬元”，即可得出方程：25（1+x）2=36.

【點評】本題為增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數(shù)量，b為終止時間的有關數(shù)量.

考點5 一元二次方程在幾何中的應用

例5 （2013·山西）如圖，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A′處，則AE的長為______.

【解析】在本題的翻折問題中，運用翻折過程中線段長度和角的大小不變，設AE=x，則A′E=x，BE=12-x，A′B=8，在Rt△A′BE中，運用勾股定理得：x2+64=（12- x）2，解得x=■.

【點評】這是翻折問題中典型的題例，除了可以用勾股定理構(gòu)造一元二次方程，還可以求三角形的面積即■BD·A′E=■BE·AD，13x=5（12-x），解得x=■. 本題也可以用相似三角形對應邊成比例來求AE的長.

一元二次方程在初中數(shù)學中占有重要的地位，考試中不僅會考查基礎題，在綜合題里也會重點考查，中考中對于這部分的考查形式多樣，注重對方程思想、轉(zhuǎn)化思想等思想方法的考查，對同學們分析問題和解決問題的能力要求也比較高.