體會(huì)“中心對(duì)稱圖形”中的“變”與“不變”

與三角形、四邊形等圖形一樣，圓也是基本的平面圖形，而圓中弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系以及“垂徑定理”一直是中考考查重點(diǎn). 下面我就帶著大家去看看各地中考是如何讓這些重點(diǎn)在“中心對(duì)稱圖形（圓）”主題下演繹“百變”角色的！

例1 （2012·四川自貢）如圖1，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C.

（1） 若AB=2，∠P=30°，求AP的長(zhǎng)；

（2） 若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線.

【解析】（1） 由AP是切線，得△APB是直角三角形，再利用三角函數(shù)得AP=2■.

（2） 如圖2，連接AC構(gòu)造直角三角形△ABC、△ACP，再連接OC，得∠OCA=∠OAC，易得∠OCD=∠OAP=90°，∴直線CD是⊙O的切線.

【點(diǎn)評(píng)】遇到直徑，常構(gòu)造直角三角形進(jìn)行推理.

例2 （2012·江蘇鎮(zhèn)江）如圖3，AB是⊙O的直徑，DF⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)C=FE.

（1） 求證：FC是⊙O的切線；

（2） 若⊙O的半徑為5，cos∠FCE=■，求弦AC的長(zhǎng).

【解析】（1） 連接OC. 易得∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OAC+∠AED=90°，∴FC是⊙O的切線；

（2） 方法1：如圖4，過點(diǎn)O作OM⊥AC，垂足為M，∴OM=OA·cos∠AOM=OA·cos∠FCE=2. ∴AC=2AM=2■=2■.

方法2：如圖5，連接BC. ∴BC=AB·cos∠ABC=AB·cos∠FCE=4.

∴AC=■=2■.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 有關(guān)圓的切線，常連接圓心和切點(diǎn)（半徑）；

（2） 方法1：涉及弦的問題時(shí)，常作半徑和弦心距，構(gòu)造直角△AMO，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

方法2：遇到直徑先構(gòu)造直角△ACB，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

例3 （2012·湖北黃岡）如圖6，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑作半圓⊙O，交AC于點(diǎn)D. 連接DB，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E.

（1） 求證：DE為⊙O的切線；

（2） 求證：DB2=AB·BE.

【解析】（1） 連接OD. 如圖7，易得DB⊥AC，利用“三線合一”得D為AC中點(diǎn)，∴OD∥BC，∠ODE=∠CED=90°. ∴DE為⊙O的切線.

（2） 易得△BDE∽△BCD，DB2=AB·BE.

【點(diǎn)評(píng)】遇到圓的切線，常連接圓心和切點(diǎn)（半徑）.

例4 （2012·浙江溫州）如圖8，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上的一點(diǎn)，且∠A=2∠DCB. E是BC上的一點(diǎn)，以EC為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D.

（1） 求證：AB是⊙O的切線；

（2） 若CD的弦心距為1，BE=EO，求BD的長(zhǎng).

【解析】（1） 連接OD，易得∠ADO=∠DOB+∠B =∠A+∠B=90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切線.

（2） 方法1：如圖9，過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，易得∠DCB=■∠DOB=30°，∴OD=OE=OC=2，∴BD=2■.

方法2：如圖10，過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，連接DE，易得DE=2OM=2.

∴OD=OE=2，∴BD=2■.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 有關(guān)圓的切線，常連接圓心和切點(diǎn)（半徑）；

（2） 方法1：有關(guān)弦的問題，作半徑和弦心距，構(gòu)造直角△CMO，再利用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.方法2：遇到直徑，也可以構(gòu)造直角△CDE，再利用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

例5 （2012·江蘇泰州）如圖11，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C.

（1） 試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2） 若PC=2■，求⊙O的半徑和線段PB的長(zhǎng)；

（3） 若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍.

【解析】（1） AB=AC. 連接OB，如圖12，∵∠OBP+∠PBA=90°，∠APC+∠ACP=90°，易得∠PBA=∠ACP，∴AB=AC.

（2） 設(shè)⊙O的半徑為r，易得AB2=AO2-BO2=25-r2，AC2=PC2-PA2=20-（5-r）2，∴r=3，∴cos∠ACP=■=■=■，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D（如圖12），∴CD=AC×cos∠ACP=4×■=■，∴PB=BC-PC=2CD-PC=■-2■=■.

（3） 如圖13，作AC的垂直平分線m，垂足為E，過點(diǎn)O作OF⊥直線m于點(diǎn)F，則OF=AE=■AC=■，∵OF≤r，即■≤r，∴r2≥5，∵r>0，∴r≥■，∴■≤r≤5.

【點(diǎn)評(píng)】（1） 有關(guān)圓的切線，常常連接圓心和切點(diǎn)；（2） 遇到類似“弦”（圓外的）的問題，也常作垂直（類似“弦心距”）構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理和三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算；（3） 直線與圓有交點(diǎn)？圳d≤r.

圓是初中幾何中比較重要的內(nèi)容之一.隨著新課程的實(shí)施，對(duì)于圓的考查不會(huì)出現(xiàn)太復(fù)雜的證明題，取而代之的是填空、選擇和簡(jiǎn)單的計(jì)算題. 在解決這些問題時(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵. 圓中常見的輔助線就有：（1） 已知圓的切線時(shí)，常連接圓心和切點(diǎn)（半徑）；（2） 涉及弦的問題，常作半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理或三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算；（3） 遇到直徑，常利用直徑所對(duì)圓周角為90°的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行計(jì)算.