“方程（組）與不等式（組）”考點透視

方程（組）與不等式（組）是中考必考內容之一. 中考數學試卷中，方程（組）涉及的考點主要有方程（組）的解法，一元二次方程根的判別式，利用方程（組）解決實際問題.考查的形式多種多樣，在填空題、選擇題和解答題中均有體現. 而不等式（組）的有關內容，主要考查不等式（組）的性質和不等式（組）的解法與應用，常常以數形結合和分類討論的形式呈現.

考點1 方程（組）的解法

例1 （2012·無錫）解方程：x2-4x+2=0.

解：（略）

【點撥】一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，在解方程的時候要根據方程的特點合理地選擇簡便的解法.

例2 （2012·常德）解方程組： x+y=5， ①2x-y=1.②

解：（略）

【點撥】解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即消去一個未知數，把二元一次方程轉化為一元一次方程，進而求解.消元的基本方法有代入消元法和加減消元法兩種.

檢驗：當x=1時，3x（x+5）=3×1×（1+5）=18≠0，所以x=1是原方程的解.

【點撥】解分式方程，關鍵是找到最簡公分母將分式方程轉化為整式方程，但是在解方程的過程中可能會產生增根，因此解分式方程必須檢驗，一些同學往往容易忽視這一點.

考點2 一元二次方程根的判別式

例4 （2012·南昌）已知關于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個相等的實數根，則a的值是（ ）.

解：關于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個相等的實數根，可知判別式Δ=4+4a=0，解得a=-1.故選B.

【點撥】本題考查的是根的判別式，同學們應熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與判別式Δ=b2-4ac的關系.

考點3 不等式的性質

例5 （2012·廣州）已知a>b，若c是任意實數，則下列不等式中總是成立的是（ ）.

A. a+cb-c C. acbc

解：根據不等式的性質1：∵a>b，c是任意實數，∴a+c>b+c，故A選項錯誤；∵a>b，c是任意實數，∴a-c>b-c，故B選項正確；根據不等式的性質2：∵a>b，當c<0時，則ac0時，則ac>bc，而本題中c是任意實數，故C、D選項都是錯誤的. 故選B.

【點撥】不等式的性質是解決此類問題的關鍵：（1） 不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；（2） 不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

考點4 不等式（組）的解法

例6 （2012·山西）解不等式組：2x+5≤3（x+2），①3x-1<5， ②并把它的解集表示在數軸上.

【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出不等式組的解集.

解：解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x<2，∴不等式組的解集是-1≤x<2.在數軸上表示為：

【點撥】解一元一次不等式組的關鍵是正確求出各個不等式的解集，然后根據：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解），來確定不等式組的解集.不等式組的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（>，≥向右畫；<，≤向左畫）.在表示解集時，“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“<”，“>”要用空心圓點表示.

考點5 實際應用

例7 （2012·赤峰）為了對學生進行愛國主義教育，某校組織學生去看演出，有甲、乙兩種票，已知甲、乙兩種票的單價比為4∶3，單價和為42元.

（1） 甲、乙兩種票的單價分別是多少元？

（2） 學校計劃拿出不超過750元的資金，讓七年級一班的36名學生首先觀看，且規定購買甲種票必須多于15張，有哪幾種購買方案？

解：（1） 設甲種票單價為4x元，則乙種票單價為3x元，∴3x+4x=42，解得x=6，∴4x=24，3x=18，所以甲、乙兩種票的單價分別是24元、18元.

（2） 設買甲種票y張，則買乙種票（36-y）張，根據題意得24y+18（36-y）≤750，y>15，解得15

∵y為整數，∴y=16或17.

所以有兩種購買方案：甲種票16張，乙種票20張；甲種票17張，乙種票19張.

【點撥】用方程（組）或不等式（組）解決實際問題，關鍵是讀懂題意，找出等量關系或不等關系，從而正確地列出方程（組）或不等式（組），根據實際意義求出答案.