“方程（組）與不等式（組）”易錯(cuò)剖析

方程與不等式是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，是解決其他問(wèn)題的工具，也是歷年中考的考查重點(diǎn).現(xiàn)把有關(guān)方程與不等式的常見(jiàn)錯(cuò)誤歸納如下，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、 有關(guān)解一元一次方程常見(jiàn)的錯(cuò)誤

1. 去分母時(shí)容易漏乘和忽略分?jǐn)?shù)線的“括號(hào)”作用

【評(píng)析】去分母時(shí)，方程兩邊都應(yīng)該乘以各分母的最小公倍數(shù)，不能漏乘不含分母的項(xiàng)，另外，分?jǐn)?shù)線除了代替“÷”外，還具有括號(hào)的作用，如果分子是一個(gè)多項(xiàng)式，應(yīng)該把它看作一個(gè)整體，去分母后，應(yīng)用括號(hào)括起來(lái).

正解：去分母，得3（x+2）-（2x-3）=12.（以下略）

2. 去括號(hào)時(shí)容易漏乘和符號(hào)錯(cuò)誤

例2 解方程：5x-2（8-x）=6x-3（4-x）.

錯(cuò)解：去括號(hào)，得5x-16-x=6x-12-x.

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得-x=4.

系數(shù)化為1，得x=-4.

【評(píng)析】此題有兩點(diǎn)錯(cuò)誤：① 一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí)，去括號(hào)時(shí)漏乘了多項(xiàng)式的某些項(xiàng)；② 括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，去括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)的有些項(xiàng)的符號(hào)沒(méi)有改變.

正解：去括號(hào)，得5x-16+2x=6x-12+3x.（以下略）

二、 有關(guān)解一元二次方程常見(jiàn)的錯(cuò)誤

1. 忽視一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)a≠0的條件

例3 若方程（m-1）xm2+1-2mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值.

錯(cuò)解：由題意得m2+1=2，可得m2=1，所以m=±1.

【評(píng)析】本題考查了一元二次方程的概念，這種解法忽視了一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于零這一隱含條件.

正解：由題意得m2+1=2，可得m2=1，所以m=±1. 而當(dāng)m=1時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)m-1=0，原方程就不是一元二次方程；當(dāng)m=-1時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)m-1=-2≠0，原方程是一元二次方程，故m的值為-1.

2. 化簡(jiǎn)過(guò)程中在方程兩邊同時(shí)除以含未知數(shù)的項(xiàng)，造成失根

例4 解方程（x+1）2=6（x+1）.

錯(cuò)解：方程兩邊同時(shí)除以x+1，得x+1=6，所以x=5.

【評(píng)析】上述解法因?yàn)闆](méi)有考慮x+1=0的情形，而造成了丟根.

正解：原方程可變形為：（x+1）2-6（x+1）=0，（x+1）（x+1-6）=0，即（x+1）（x-5）=0，x+1=0或x-5=0，所以，x1=-1，x2=5.

3. 運(yùn)用公式法時(shí)要將方程轉(zhuǎn)化為一般形式且要注意a、b、c的符號(hào)

例5 解方程x2-3x=1.

錯(cuò)解：原方程可變形為：x（x-2）-（x+1）（x-2）=3，解這個(gè)整式方程，得x=-1，故原方程的解為：x=-1.

【評(píng)析】此解法錯(cuò)在沒(méi)有驗(yàn)根，由等式的性質(zhì)二可知等式兩邊只能同乘一個(gè)不等于零的數(shù)或整式，若此整式為零，即為分式方程的增根，必須舍去.

正解：原方程可變形為：x（x-2）-（x+1）（x-2）=3，解這個(gè)整式方程，得x=-1. 當(dāng)x=-1時(shí)，（x+1）（x-2）=0，所以x=-1是原分式方程的增根，故原分式方程無(wú)解.

2. 去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)

正解：原方程可變形為：4（x+1）+x2=2x（x+1）.（以下略）

四、 有關(guān)不等式（組）中常見(jiàn)的錯(cuò)誤

1. 不等式兩邊同除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，忘記改變不等號(hào)的方向

例8 解不等式：5x-12≤2（4x-3）.

錯(cuò)解：去括號(hào)，得5x-12≤8x-6，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得-3x≤6，兩邊同除以-3，得x≤-2.

【評(píng)析】解一元一次不等式與解一元一次方程類(lèi)似，所不同的是不等式兩邊都乘（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變，這正是本題解法的錯(cuò)誤所在.

正解：去括號(hào)，得5x-12≤8x-6，移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得-3x≤6，兩邊同除以-3，得x≥-2.

2. 求含字母的取值范圍的不等式組問(wèn)題時(shí)，在端點(diǎn)的取舍上容易搞錯(cuò)

例9 已知關(guān)于x的不等式組x-a≥0，5-2x>1只有4個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

錯(cuò)解：解關(guān)于x的不等式組，易得a≤x<2，又因?yàn)橹挥?個(gè)整數(shù)解，易知整數(shù)解為-2、-1、0、1，所以a應(yīng)該在-3和-2之間，即-3

【評(píng)析】此類(lèi)問(wèn)題是不等式中很容易出錯(cuò)的一種題型，我們可以借助數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的思想加以解決.

正解：解關(guān)于x的不等式組，易得a≤x<2，又因?yàn)橹挥?個(gè)整數(shù)解，易知整數(shù)解為-2、-1、0、1，所以a的大致范圍在-3和-2之間. 結(jié)合下圖數(shù)軸，又因?yàn)閤≥a，x可以取得a值，故a是可以等于-2的，但不能等于-3，所以a的取值范圍是：-3