“圖形與變換”考點透視

考點1 軸對稱與中心對稱圖形的識別

例1 （2012·北京）下列圖形中，即是中心對稱又是軸對稱圖形的是（ ）.

A. 等邊三角形 B. 平行四邊形 C. 梯形 D. 矩形

【解析】等邊三角形、矩形是軸對稱圖形，平行四邊形和矩形是中心對稱圖形，所以既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是矩形，選D.

【點評】這類題的難度不大，只要準確理解有關概念即可迅速得到答案.必須注意：等邊三角形繞著它的中心旋轉120°即與原圖形重合，所以它不是中心對稱圖形.

考點2 圖形的平移與旋轉

例2 （2012·廣西賀州）如圖1，在方格紙中的△ABC經過變換得到△DEF，正確的變換是（ ）.

A. 把△ABC向右平移6格

B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格

C. 把△ABC繞著點A順時針方向90°旋轉，再向右平移7格

D. 把△ABC繞著點A逆時針方向90°旋轉，再向右平移7格

【解析】觀察圖象可知，先把△ABC繞著點A逆時針方向90°旋轉，然后再向右平移7格就可以與△DEF重合，故選D.

【點評】本題考查了幾何圖形的平移和旋轉變換，幾何圖形的平移和旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小.本題同時應用了旋轉與平移變換，對識圖能力要求比較高.

考點2 圖形的相似

例3 （2012·貴州銅仁）如圖2，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2∶1，則下列結論正確的是（ ）.

A. ∠E=2∠K

B. BC=2HI

C. 六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長

D. S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL

【解析】∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2∶1，∴∠E=∠K，BC=2HI，六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長×2，S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故選B.

【點評】兩個圖形相似，對應角相等，邊長比和周長比都等于相似比，面積比等于相似比的平方.解答這類問題時應注意相似圖形邊長比、周長比、面積比與相似比之間的關系.

考點4 位似圖形的概念和性質

例4 （2012·遼寧丹東）如圖3，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且位似比是1∶2，若AB=2cm，則A′B′=_______cm，并在圖中畫出位似中心O.

【解析】由位似圖形的概念可知，△ABC與△A′B′C′相似，相似比為1∶2，所以AB∶A′B′=1∶2，又AB=2cm，所以A′B′=4 cm. 位似中心O的確定方法如圖3所示.

【點評】位似圖形是特殊的相似圖形，由位似圖形確定位似中心的關鍵是找出兩組對應點，有了對應點，連接兩組對應點的連線的交點就是位似中心.

考點5 相似三角形的性質與判定

例5 （2012·浙江衢州）如圖4，？荀ABCD中，E是CD延長線上的一點，BE與AD交于點F，CD=2DE.若△DEF的面積為a，則？荀ABCD的面積為_______.（用a的代數式表示）

【解析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，進而利用CD=2DE和相似三角形的性質分別得出△CEB、△ABF的面積為9a、4a，然后推出四邊形BCDF的面積為8a，即可得到？荀ABCD的面積為12a.

【點評】解決本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質.中考試題中常常將相似三角形的性質與判定結合在一起考查，先由判定得到相似三角形，再用性質解決有關問題.

考點6 銳角三角函數

例6 （2012·浙江麗水）如圖5，在梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=■，AB=6.在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF=120°.當點E是AB的中點時，線段DF的長度是_______.

【點評】三角函數的計算是中考中必考的問題之一，弄清三角函數的概念，正確理解、準確記憶特殊角的三角函數值，是正確進行有關運算的基礎.

考點7 簡單幾何體的三視圖

例7 （2012·內蒙古包頭）下列幾何體各自的三視圖中，只有兩個視圖相同的是（ ）.

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④

【解析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形，分別分析四個幾何體的三視圖，從中找出只有兩個視圖相同的幾何體，可得出結論：① 正方體的主、左和俯視圖都是正方形；② 圓錐的主、左視圖是三角形，俯視圖是圓；③ 球體的主、左和俯視圖都是圓形；④ 圓柱的主、左視圖是長方形，俯視圖是圓.只有兩個視圖相同的幾何體是圓錐和圓柱，故選D.

【點評】解決這類問題主要是要“看懂”視圖，要弄清主視圖是從正面看得到的，左視圖是從左面看得到的，俯視圖是從上面看得到的.

考點8 簡單物體的展開圖

例8 （2012·四川廣安）一個正方體的每個面都寫有一個漢字，其平面展開圖如圖6所示，則在該正方體中，和“崇”相對的面上寫的漢字是（ ）.

A. 低 B. 碳 C. 生 D. 活

【解析】將展開圖進行折疊，可發現和“崇”相對的面上寫的漢字是“低”，所以選A.

【點評】由平面展開圖想象物體的形狀，可將展開圖試著折疊，看能還原成什么樣的幾何體；由物體畫展開圖，可將具體的幾何體展開，觀察其特征，以獲得基本的經驗.

考點9 中心投影、平行投影

例9 （2011·江西）如圖7，一根直立于水平地面上的木桿AB在燈光下形成影子，當木桿繞A按逆時針方向旋轉直至到達地面時，影子的長度發生變化.設AB垂直于地面時的影長為AC（假定AC>AB），影長的最大值為m，最小值為n，那么下列結論：① m>AC；② m=AC；③ n=AB；④ 影子的長度先增大后減小.其中，正確的結論的序號是_______.

【解析】考慮旋轉的整個過程，當木桿繞A按逆時針方向旋轉時，影長在增大；到木桿AB垂直于原來直立時燈光對B點的投射線時，影長達到最大值；若繼續旋轉時，影長在減小；當木桿AB旋轉到達地面時，影長減小到與木桿一樣長. 因此有m>AC， n=AB，影子的長度先增大后減小.所以填①③④.

【點評】解決投影問題關鍵要分清問題是中心投影還是平行投影，用好它們的性質，很多時候可結合生活經驗來區分.