開放探索型問題

試題特征分析

開放探索型問題指條件不完善、結論不明確、解法無限制的一類試題.其特點是：① 條件的不確定性；② 結構的多樣性；③ 思維的多樣性；④ 解答的層次性；⑤ 過程的探究性；⑥ 知識的綜合性.

解題方法指導

由于開放探究型試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，再加上題意新穎，構思精巧，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角度考慮：

（1） 利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行切入.

（2） 反演推理法（反證法）：假設結論成立，根據假設進行推理.

（3） 分類討論法：當命題的題設和結論不唯一確定，則需要按可能出現的情況加以討論.

（4） 類比猜想法：由一個問題的結論或方法類比猜想出另一個類似問題的結論或方法.

熱點問題解析

一、 結論的開放與探索

例1 （2011·江西）已知拋物線y=-（x-m）2+1與x軸的交點為A，B（B在A的右邊），與y軸的交點為C.

（1） 寫出m=1時與拋物線有關的3個正確結論；

（2） 當點B在原點的右邊，點C在原點的下方時，是否存在△BOC為等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；

（3） 請你提出一個對任意的m值都能成立的正確命題（說明：根據提出問題的水平層次，得分略有差異）.

【分析】（1） 將m=1代入y=-（x-m）2+1化簡；（2） 令y=0時得出（x-m）2=1得A，B的坐標.令x=0時得出OC=m2-1，求出m的實際值；（3） 根據m值的不同分情況解答.

【解析】解：（1） 當m=1時，拋物線的解析式為y=-x2+2x.正確的結論有：① 拋物線的解析式為y=-x2+2x；② 開口向下；③ 頂點為（1，1）；④ 拋物線經過原點；⑤ 與x軸另一個交點是（2，0）；⑥ 對稱軸為x=1；

（2） 存在.當y=0時，-（x-m）2+1=0，即有（x-m）2=1. ∴ x1=m-1，x2=m+1.∵點B在點的右邊，∴A（m-1，0），B（m+1，0）.∵點B在原點右邊，∴OB=m+1.

∵當x=0時，y=-m2+1，點C在原點下方，∴OC=m2-1.當m2-1=m+1時，m=2或m=-1（因為對稱軸在y軸的右側，m>0，所以不合要求，舍去），∴存在△BOC為等腰三角形的情形，此時m=2.

（3） 如：①對任意的m，拋物線y=-（x-m）2+1的頂點都在直線y=1上；② 對任意的m，拋物線y=-（x-m）2+1與x軸的兩個交點間的距離是一個定值；③ 對任意的m，拋物線y=-（x-m）2+1與x軸兩個交點的橫坐標之差的絕對值為2.

【點評】這類題目是在給定條件下，探索相應對象是否存在.本題綜合考查二次函數的知識點.此類函數開放題，具有發散性，其基本解題方法：假設存在，演繹推理，得出結論.

拓展問題 已知二次函數y=a（x2-6x+8），（a>0）的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C.點D是拋物線的頂點.

（1） 如圖2，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點O′，恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數a的值；

（2） 如圖3，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側.小林同學經過探索后發現了一個正確的命題：若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等（即這四條線段不能構成平行四邊形）.若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

（3） 如圖3，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標l是大于3的常數，試問：是否存在一個正數a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等 （即這四條線段能構成平行四邊形）？請說明理由.

二、 解題方法的開放與探索

例2 （2008·江蘇南京）如圖4，已知⊙O的半徑為6 cm，射線PM經過點O，OP=10 cm，射線PN與⊙O相切于點Q.A，B兩點同時從點P出發，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動.設運動時間為t s.

（1） 求PQ的長；

（2） 當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

【分析】第（2） 小題是一道條件探索性問題.其解法是“執果索因”，要得到直線AB與⊙O相切，即要分類討論，但就其解題策略來說也屬于解題方法的開放與探究問題.

∴四邊形OCBQ為矩形.∴BQ=OC=6.

① 當AB運動到如圖5所示的位置時，

BQ=PQ-PB=8-4t=6.解得t=0.5（s）.

② 當AB運動到如圖6所示的位置時，

BQ=PB-PQ=4t-8=6.解得t=3.5（s）.

所以，當t為0.5 s或3.5 s時直線AB與⊙O相切.

【點評】此題考查三角形相似、矩形的判定以及直線和圓的位置關系，綜合性較強，注意分類思想和數形結合思想的應用.這類題目常以幾何圖形為背景，設置探索幾何量間的關系或點、線位置關系，考查同學們的綜合解題能力.

拓展問題 如圖7，直角坐標系中，已知點A（2，4），B（5，0），動點P從B點出發沿BO向終點O運動，動點Q從A點出發沿AB向終點B運動.兩點同時出發，速度均為每秒1個單位，設從出發起運動了x s.

（1） Q點的坐標為（_______，_______）（用含x的代數式表示）.

（2） 當x為何值時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形？

（3） 記PQ的中點為G.請你探求點G隨點P、Q運動所形成的圖形及理由.

【參考答案】

（3） 點G隨點P、Q運動所形成的圖形是線段MN.