綜合運用型問題

試題特征分析

綜合運用型問題是初中數(shù)學中知識覆蓋面最廣、綜合性最強的題型.近幾年的中考壓軸題多以此類問題的形式出現(xiàn).解決此類問題時所涉及的知識面較廣，對同學們的綜合能力要求較高.

解題方法指導

解綜合運用型問題一般可分為認真審題、理解題意，探求解題思路，正確解答三個步驟.解綜合運用型問題必須要有科學的分析問題的方法，要善于總結(jié)解綜合運用型問題中所隱含的重要的數(shù)學思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想等要結(jié)合實際問題加以領(lǐng)會與掌握，這是學習解綜合運用型問題的關(guān)鍵.

熱點問題解析

一、 代數(shù)類型的綜合運用型問題

例1 （2012·黑龍江）為了迎接“五·一”長假的購物高峰，某運動品牌服裝專賣店準備購進甲、乙兩種服裝. 甲種服裝每件進價l80元，售價320元；乙種服裝每件進價150元，售價280元.

（1） 若該專賣店同時購進甲、乙兩種服裝共200件，恰好用去32 400元，求購進甲、乙兩種服裝各多少件？

（2） 該專賣店為使甲、乙兩種服裝共200件的總利潤（利潤=售價-進價）不少于26 700元， 且不超過26 800元，則該專賣店有幾種進貨方案？

（3） 在（2）的條件下，專賣店準備在5月1日當天對甲種服裝進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種服裝每件優(yōu)惠a（0

【分析】本題需找準題中所提供的各種等量關(guān)系、不等關(guān)系，利用方程（組）、函數(shù)、不等式的有關(guān)知識進行綜合分析，并結(jié)合數(shù)學的分類思想進行解答.

【解析】（1） 設(shè)購進甲種服裝x件，則乙種服裝是（200-x）件，根據(jù)題意得：180x+150（200-x）=32 400，解出x的值，即可知問題答案；

（2） 設(shè)購進甲種服裝y件，則乙種服裝是（200-y）件，根據(jù)題意得：

（320-180）y+（280-150）（200-y）≥26 700，（320-180）y+（280-150）（200-y）≤26 800.解出y的整數(shù)解即可知有11種方案；

（3） 設(shè)總利潤為W元，W=（140-a）y+130（200-y），即W=（10-a）y+26 000.

① 當00，W隨y增大而增大，∴當y=80時，W有最大值，即此時購進甲種服裝80件，乙種服裝120件；

② 當a=10時，（2）中所有方案獲利相同，所以按哪種方案進貨都可以；

③ 當10

【點評】本題解題中的關(guān)鍵在于正確利用y表示出利潤，而結(jié)合分類思想進行討論則是解該題特別要注意的問題. 本題的設(shè)計意圖在于考查同學們對一次函數(shù)、方程（組）、一元一次不等式組的應(yīng)用，以及分類思想.

變式問題

（2012·遼寧朝陽）某商家經(jīng)銷一種綠茶，用于裝修門面已投資3 000元.已知綠茶每千克成本50元，在第一個月的試銷時間內(nèi)發(fā)現(xiàn).銷量w（kg）隨銷售單價x（元/ kg）的變化而變化，具體變化規(guī)律如下表所示：

設(shè)該綠茶的月銷售利潤為y（元）（銷售利潤=單價×銷售量-成本-投資）.

（1） 請根據(jù)上表，寫出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；

（2） 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍），并求出x為何值時，y的值最大？

（3） 若在第一個月里，按使y獲得最大值的銷售單價進行銷售后，在第二個月里受物價部門干預(yù)，銷售單價不得高于90元，要想在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個月的利潤達到1 700，那么第二個月里應(yīng)該確定銷售單價為多少元？

【參考答案】（1） w=-2x+240；（2） 當x=85時，y的值最大為2 450元；（3） 當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2 250元，即在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個月的利潤達到1 700元.

二、 幾何類型的綜合運用型問題

（2） 當α=30°時，求線段BE的長；

（3） 若要使點E在線段BA的延長線上，則α的取值范圍是_______.（直接寫出答案）

【分析】本題需要巧妙利用圖中所提供的條件，來尋找角之間的等量關(guān)系，從而得出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題，同時還必須用運動的眼光，以及借助特殊位置來幫助分析問題.

（3） 借助于特殊位置點D、B、C在一條直線上，則易聯(lián)想到60°<α<90°.

【點評】本題解題過程中的關(guān)鍵之處在于巧妙利用直角來尋找相等的角，從而利用相似解決問題，注意點是要善于利用特殊位置幫助分析問題.本題的設(shè)計意圖在于考查圓的有關(guān)知識和相似知識的應(yīng)用能力，以及對圖形變化的想象和分析能力.

變式問題

（2012·遼寧大連）如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，點E在AD上，點F在DC上，且∠BEF=∠A.

（1） ∠BEF=_____（用含α的代數(shù)式表示）；

（2） 當AB=AD時，猜想線段EB、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；