初中數學教材例題習題“二次開發”策略研究

長期以來，我們都是通過大量的習題訓練來培養學生的解題能力的，這種高耗低效的教學方式早已經被眾多同行所詬病，但我們也不無尷尬地發現，除了這種方式之外幾乎難以尋找到更好的途徑。當然，我們并不是找不到更好的方法，許多好方法之所以被棄而不用，原因在于這些方法中的大部分需要教師付出的成本太高，因而人們不愿意使用。筆者以為，我們可以尋找到一種成本更低、效果更好的方法。那就是對教材上例題和習題的二次開發。

一、二次開發策略的理論探究

我們說教材上的例題和習題具有二次開發的價值，是因為我們注意到這些例題與習題往往能夠使得所學得的新知識有一個綜合性的運用。從知識架構的角度來看，例題與習題的訓練可以讓學生將新知學習中獲取的知識得到一個更深層次的理解。在傳統教學中，我們對例題和習題的運用往往都是一次性的，因而就不能發揮這些例題與習題的全部作用，全部作用的發揮在于對它們的二次開發。

那么，對于例題和習題進行二次開發的角度有哪些呢？這是涉及到二次開發具體策略的問題，必須研究。筆者經過研究，總結出這樣幾個方面：一是對例題和習題進行變式；二是對例題和習題進行建模；三是對例題和習題進行提取。在筆者看來，這三個層次有一定的遞進性：變式主要強調的是變換事物的非主要特征，強調主要特征；建模強調的是為學生提供一種數學模型；提取強調的是緊扣例題和習題素材進行拓展。下面通過筆者在研究過程中的幾個例子來說明。

二、二次開發策略的實踐探究

首先談例題與習題的變式。變式不僅僅是變換習題的形式，不是改變或交換已知和未知那么簡單，或者再說得更清楚一點，那就是“變式不是變換形式”。變式的主要思路在于變換學習對象的非主要特征。以“二次根式的加減”教學（人教版《數學》九年級上冊，下同）為例，其在強調“二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并”時，提供了這樣幾個例題：√9a+√25a；√80-√45。這兩個例題有什么味道？前者是符號，后者是數字。一般情況下學生不都是喜歡做數字的，為什么數字的反而放在后面呢？思考這些我們就能發現二次開發的窗口。顯然，從難易程度上來看，前者易于后者，而前者的解決恰恰可以為后者的解決打開視角，換句話說，如果直接做后者，學生的思路是難以打開的；甚至我們還可以看到一個小小的細節，那就是前者是加，后者是減，這也是編者用心的地方。根據這樣的思路，我們可以將本例題開發（變式）成類似這樣的題目：√16ab3-√9a3b。跟原題相比，其解題思路沒有變，但根號內的內容發生了變化，需要學生在原有思路的基礎上稍加拓展進行思考才能解決。

然后談基于例題和習題的建模。建模本身就是數學學習的重要內容之一，這里所說的建模與常見的為了學習數學知識建模有所不同，這里指的是數學教師利用建模思想，從典型例題或習題中尋找具有代表性的題目，使之成為解決一類問題的模型的過程。例如在“解一元二次方程”時的思路是“降次”，教材上為“配方法”提供的例題和習題分別是：x2-8x+1=0等3題，和x2+10x+ =（x+ ）2等10道題目。顯然，這里通過提供最基本的一元二次方程作為例題，以讓學生通過移項等方法完成對一元二次方程的配方，使之變成兩個一元一次方程，這是配方法解題的主要思路，而習題實際上是通過變式的方式提供的題目。因此我們在二次開發時，應當秉承這一思路進行。篇幅所限，此不贅述具體例題，只強調例題思想，同時也是本知識點中例題建模的思想：將方程化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）。

最后談對例題和習題的提取。這里所說的提取是指提取包括例題或習題的素材、創意等。這是學生熟悉例題與習題的主要方式，是提高學生理解知識能力與應試能力、減輕學習負擔的重要途徑。例如在“旋轉”知識的教學中，我們注意到練習題的素材多以實際問題為主，如“舉出一些現實生活中旋轉的實例，并指出旋轉中心和旋轉角”“時鐘的時針在不停地旋轉，從上午6時到上午9時，時針旋轉的旋轉角是多少度？從上午9時到上午10時呢？”等，這給我們的啟發是，此類知識點重在對實際問題的分析，因此二次開發應當以尋找實際生活中的素材為主。如筆者在二次開發的研究中曾經進行了這樣的嘗試：用三角板在黑板上旋轉，讓學生針對旋轉中心和旋轉角去提出問題。學生提出的問題一般包括如下幾個范疇：一是旋轉中心的確定理論上任意的，其中尤其以三個頂點為簡單；二是旋轉角的確定與旋轉中心的確定密切相關；三是復雜的旋轉是簡單旋轉的疊加，因此一個復雜的旋轉可以轉換為幾個簡單的旋轉。

顯然，當我們從例題中提取出“旋轉”知識例題的特點之后，對學生的訓練就有了牛鼻子可抓，也就能起到事半功倍的作用。

總之，在對教材上的例題和習題進行二次開發的過程中，我們對數學的理解與認識也逐步深入，比如說一個新的知識點有時并不是隨意選擇一道習題就能起到鞏固的作用，尤其是當我們沉迷于選擇最新的中考題作為新課學習的訓練題時，對例題和習題的二次開發卻告訴我們這并不一定是最好的選擇。因為中考習題的情境與新課學習的情境往往大相徑庭，當兩種情境并不匹配時，就起不到預期的效果。那么怎樣合理選擇最新的題目呢？二次開發的經驗告訴我們：根據習題與新課教學情境的相關程度去選擇，是最為科學的策略。