基于分形技術(shù)的竹生長模擬研究

自然景物在外部形態(tài)上呈現(xiàn)出千姿百態(tài)，其生長都具有一定的盲目性，但是分枝模式總有規(guī)律可循，對這些結(jié)構(gòu)進行具體的放大會發(fā)現(xiàn)不規(guī)則程度是一樣的，即他們的自相似性。分形以其獨特的手段來解決不規(guī)則形態(tài)物體的仿真問題，利用空間結(jié)構(gòu)的對稱性和自相似性，可以將自然界中絕大多數(shù)的非規(guī)則圖形真實地在計算機上再現(xiàn)。自然界中大多數(shù)樹木和草的分叉結(jié)構(gòu)都具有分形的性質(zhì)，為計算機分形模擬提供了基礎(chǔ)。據(jù)此如何真實地描述竹子的生長變化過程，本文在算法及實現(xiàn)上做了一些研究。

1.主要的相關(guān)技術(shù)

1.1 分形模擬方法

分形作為一種方法，在圖形學領(lǐng)域主要是利用迭代、遞歸等技術(shù)來實現(xiàn)某一具體的分形構(gòu)造。它的主要任務(wù)是以分形幾何學為數(shù)學基礎(chǔ)，構(gòu)造非規(guī)則的幾何圖素，從而實現(xiàn)分形體的可視化，以及對自然景物的逼真模擬。

植物的分形模擬就是基于分形理論的植物形態(tài)模擬，其原理是利用植物自身結(jié)構(gòu)的分形性質(zhì)(結(jié)構(gòu)的自相似性)生成植物圖形或圖像的方法。當前，分形植物模擬的方法主要有L-系統(tǒng)、迭代函數(shù)系統(tǒng)(Iterated Function System,IFS)、受限擴散凝聚(Diffusion Limited Aggregation,DLA)模型和粒子系統(tǒng)。這四種方法的算法原理互不相同，模擬對象也是各有側(cè)重。

1.2 IFS(迭代函數(shù)系統(tǒng))

迭代函數(shù)系統(tǒng)是從一個坐標系到另一個坐標系的映射系統(tǒng)，其算法分為確定性算法和隨機性算法。

確定性算法是指用以迭代的規(guī)則是確定性的，它們由一組仿射變換(如R1，R2，R3等)構(gòu)成。隨機性的算法，又被人們稱為混沌游戲，指迭代過程是不確定的，每一次迭代采用哪一個規(guī)則，即Ri（i=1∽N）中具體哪一個，不是預先定好的，而是類似靠擲骰子的辦法來決定。也既是說，隨機地從Ri（i=1∽N）中選一個迭代規(guī)則迭代一次，再從Ri（i=1∽N）中選一個迭代一次，依此類推，那么最終的生成圖形是Ri（i=1∽N）中各個迭代規(guī)則的并集。令最終生成的圖形為M，它要滿足如下集合關(guān)系：M=R1∪R2∪…∪RN。

數(shù)學上的仿射變換是一種由旋轉(zhuǎn)、平移、映射構(gòu)成的變換，仿射變換可以由一個函數(shù)來表示，這也正是命名“迭代函數(shù)系統(tǒng)”的原因。簡單地說，迭代函數(shù)系統(tǒng)就是指把仿射變換函數(shù)系統(tǒng)經(jīng)過多次迭代形成的分形。

2.竹子的分形生成研究及算法

2.1 分枝模式

雖然植物在外部形態(tài)上呈現(xiàn)出千姿百態(tài)，但是植物的分枝模式總是有規(guī)律可循的，外部形態(tài)是其內(nèi)部某種形態(tài)控制機制的反映，而外部形態(tài)是可以用植物的分枝模式來描述的。植物的分枝模式分2種，單軸分枝模式和合軸分枝模式。

單軸分枝模式。頂芽不斷向上生長，形成主干。同時側(cè)芽也發(fā)展成為側(cè)枝，側(cè)枝又以同樣方式形成次級側(cè)枝，但側(cè)枝不及主干粗、長。這種分枝模式有明顯的主軸，稱為單軸分枝模式，單軸分枝的主干上能產(chǎn)生各級分枝，主干的伸長和粗細比側(cè)枝強得多。因此這種分枝模式主干特征顯著，如竹子、松樹、云杉、楊樹等。

合軸分枝模式。頂芽發(fā)育一定時期后死亡或生長緩慢，而位于頂芽下面的側(cè)枝就取而代之，繼續(xù)發(fā)育，形成強壯的側(cè)枝，連接在原來的主軸上。之后，這種側(cè)枝上的頂芽又停止發(fā)育，再由它下面的側(cè)芽來代替，便形成了彎曲的主軸。以這種方式分枝植物的地上部分呈開放狀態(tài)，典型的如柳樹、榆樹等等。

2.2 竹干的分形算法

前文提到竹子的生長變化屬于單軸分枝模式。本文采用的分形算法為：以一個竹干作為單位來向上依次遞歸形成竹子，如圖1所示。假設(shè)最接近地面的那一段竹干AB長為L，并且與地面夾角為a，兩側(cè)枝CD、BE與主干的夾角皆為b，側(cè)枝與主干的長度比例為s2。其中主干起點A(x,y)，主干終止和右側(cè)枝起點B(x2,y2)，右側(cè)枝終點E(x2R,y2R)，左側(cè)枝起點C(x1,y1)以及左側(cè)枝終點D(x1L,y1L)。

主要步驟如下：

（1）繪制主干AB，即用畫筆描繪曲線(x2,y2)-(x,y)；

主干終止B點坐標

x2=x+L*cos(a*Pi)，

y2=y+L*sin(a*Pi)；

右側(cè)枝終止E點坐標

x2R=x2+L/s2*cos((a+b)*Pi)，

y2R=y2+L/s2*sin((a+b)*Pi)；

圖1 竹干生成的坐標數(shù)據(jù)

圖2 左側(cè)枝中間葉子生成

左側(cè)枝開始C點坐標

x1=x+L/s2*cos(a*Pi)，

y1=y+L/s2*sin(a*Pi)；

左側(cè)枝終止D點坐標

x1L=x1+L/s2*cos((a-b)*Pi)，

y1L=y1+L/s2*sin((a-b)*Pi)；

（2）用畫筆畫出第一節(jié)竹干以及兩邊側(cè)枝的模型，然后將B點坐標作為A點重新計算出第二節(jié)竹節(jié)的各個側(cè)枝起點以及終點坐標，再用畫筆繪圖函數(shù)完成第二節(jié)竹干的繪制，算是一次遞歸過程。竹干的生成用到了Graphics類庫里面的畫筆描繪：

●竹干畫筆寬度以及繪制竹干

gg.setStroke(new BasicStroke(6))；

ig.drawLine((int)x,(int)y,(int)x2,(int)y2)；

●側(cè)枝畫筆寬度以及繪制側(cè)枝

gg.setStroke(new BasicStroke(2))；

ig.drawLine((int)x2,(int)y2,(int)x2R,(int)y2R)；

ig.drawLine((int)x1,(int)y1,(int)x1L,(int)y1L)；

2.3 竹葉的生成算法

位于側(cè)枝上的葉子也采用了類似的算法，以左側(cè)枝中間的葉子為例，其他的側(cè)枝葉子可以由此遞歸、迭代產(chǎn)生：

以一個多邊形來描繪一片葉子，如圖2所示。

假設(shè)左側(cè)枝終點作為該葉子的起點，葉子的終點設(shè)為(xLLeafEnd,yLLeafEnd),葉子的長度與主干的長度比值0.4，葉子中間突起兩點坐標分別為(xLLeafLCenter,yLLeafLCenter)和(xLLeafRCenter,yLLeafRCenter)。

左邊葉子的終點坐標

xLLeafEnd=x1+(L/s2+L*0.4)*cos((ab)*Pi)；

yLLeafEnd=y1+(L/s2+L*0.4)*sin((ab)*Pi)；

左邊葉子的中間突起的兩點坐標

xLLeafLCenter=x1L+L*0.2*cos((ab)*Pi)/2；

yLLeafLCenter=y1L；

xLLeafRCenter=x1L；

yLLeafRCenter=y1L+L*0.2*sin((ab)*Pi)/2；

算出竹葉的4個點之后就通過繪制、填充多邊形來達到竹葉的繪制效果。

葉子的填充用到了Graphics中的多邊形繪制以及色彩填充，具體代碼如下：

Polygon pointleft=new Polygon()；

pointleft.addPoint((int)x1L,(int)y1L)；

pointleft.addPoint((int)xLLeafRCenter,(int)yLLeafRCenter)；

pointleft.addPoint((int)xLLeafE-nd,(int)yLLeafEnd)；

pointleft.addPoint((int)xLLeafLC-enter,(int)yLLeafLCenter)；

這樣就可以完成第一個竹干以及葉子的繪制，上層的竹干可以由第一節(jié)竹干遞歸、迭代生成。

3.結(jié)論

根據(jù)竹子的分枝模式，可以采用迭代函數(shù)系統(tǒng)中確定性算法與隨機性算法相結(jié)合的方法動態(tài)模擬竹林生長的各種形態(tài)，如竹節(jié)生長、葉子生長直至樹葉枯黃掉落。實驗利用Java語言的GUI圖形用戶界面設(shè)計與AWT畫圖雙緩沖，輕松地的完成繪制主干及分支、樹葉以及根據(jù)生長周期設(shè)置樹葉顏色變化直至枯黃掉落。此外利用畫筆直接描繪出竹干，以及設(shè)計一個生長速率變量來控制程序的遞歸、迭代速度，從而控制竹子的生長速度。在模擬過程中，引入了雙緩沖技術(shù)對生長動畫的描繪，可以讓整個生長過程沒有出現(xiàn)閃爍，圖像更流暢。

實驗的難點在于分形圖形算法的構(gòu)造即如何將竹林的生長模式轉(zhuǎn)化成算法來編寫程序?qū)崿F(xiàn)，本文采用分形算法中的L-系統(tǒng)，并且在具體應(yīng)用中加以適當改進，實驗表明技術(shù)是可行的，實現(xiàn)方法的效果也是良好的。

本文的生長模式固定，即每一次生長的圖形一樣，下一步將進一步研究自然性，即分支產(chǎn)生的隨機分支偏轉(zhuǎn)角度的隨機性。

[1]陳曉,彭國華,楊康.基于分形L系統(tǒng)生成三維景物的算法研究[J].計算機仿真,2009,07.

[2]劉振興.基于功能-結(jié)構(gòu)和L-系統(tǒng)的植物仿真建模[D].天津:天津工業(yè)大學學報,2008.

[3]羅燕,吳中福,郭選昌,吳剛.分形算法的仿真“竹”的實現(xiàn)[J].重慶:重慶大學學報,2010,33(12).

[4]孫博文.分形算法與程序設(shè)計——Java實現(xiàn)[M].北京:科學出版社,2004,11.

[5]Lindenmayer,A Mathematical models for cellular interaction in development，Journal of Theoretical Biology,1996:280-315.

[6]孫永香,劉彤,鄭永果等.虛擬植物的建模方法[J].系統(tǒng)仿真學報,2006,18(6):0263-04.