弧齒錐齒輪高精度離散數(shù)值齒面嚙合分析

劉光磊，常 凱

（西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安 710072）

0 引言

弧齒錐齒輪齒面的分為間接法[1-9]和直接法[10-17]。在判斷加工參數(shù)的合理性時，一般采用基于間接法對齒面進(jìn)行嚙合分析；在檢驗齒面的嚙合性能時，除了已知的滾檢機(jī)外，采用齒面直接法進(jìn)行輪齒嚙合分析有望成為1個額外的選擇。相對于比較成熟的間接法分析，直接法輪齒嚙合分析尚在發(fā)展和完善中。Zhang Y[10]將理論齒面與誤差齒面疊加，采用5元3次非線性方程組間接表示真實齒面，與實際存在較大誤差；李左章[11]采用了5元3次非線性方程組，建立求解齒面接觸點的目標(biāo)函數(shù)，運用復(fù)合形法，使計算過程穩(wěn)定；孫殿柱、蘇智劍和張軍輝都采用3次非均勻有理B樣條，擬合螺旋錐齒輪齒面測量點。其中，孫殿柱[12]提出了不斷減小齒面間距，從而逐步逼近齒面接觸點的方法，幾何意義清楚；蘇智劍[13]提出用齒面計算點的連線與其中1個計算點的法線之間的夾角作為目標(biāo)函數(shù)，并用復(fù)合形法求解齒面接觸點；張軍輝[14]對比了離散數(shù)值齒面嚙合分析與傳統(tǒng)輪齒嚙合分析技術(shù)；劉光磊[15-17]采用雙3次樣條擬合理論齒面離散點。上述直接法輪齒嚙合分析技術(shù)，有一些往往沒有給出令人信服的結(jié)果，而無法證明其方法的有效性。

本文基于雙3次樣條法，系統(tǒng)分析弧齒錐齒輪高精度離散數(shù)值齒面嚙合技術(shù)，為評價弧齒錐齒輪真實齒面的嚙合質(zhì)量以及弧齒錐齒輪加工參數(shù)反求和齒面重構(gòu)提供手段和理論依據(jù)。

1 基本坐標(biāo)變換

1.1 齒面3坐標(biāo)測量數(shù)據(jù)描述

采用3坐標(biāo)測量機(jī)測量齒面時，得到9×5個點，虛線交點如圖1所示。其中，齒長方向9個，齒高方向5個，全部位于齒面邊界之內(nèi)。測量坐標(biāo)系的原點位于錐頂；x軸沿齒輪徑向指向齒面；z軸與齒輪軸線重合，從大端指向小端；y軸按右手規(guī)則確定，指向齒面離散點的中心點。

圖1 齒面離散數(shù)據(jù)測量區(qū)域

1.2 從測量坐標(biāo)系到加工坐標(biāo)系

為了便于與加工時的結(jié)果相比較，需要將測量的齒面離散點轉(zhuǎn)換到加工時的齒輪坐標(biāo)系中。在加工時，與齒輪固結(jié)的坐標(biāo)系的原點與錐頂重合；x軸與齒輪軸線重合，從小端指向大端；z軸沿齒輪徑向指向齒面；y軸按右手規(guī)則確定。

從測量坐標(biāo)系到加工坐標(biāo)系的矢量變換為

式中：ri和ric、ni和nic分別為加工坐標(biāo)系Si和測量坐標(biāo)系Sic中齒面離散點的位置矢量和法線矢量；角標(biāo)i=1，2，分別表示小輪和大輪；PSi_Sic和 MSi_Sic分別為位置矢量和法向量變換矩陣，即

而法線矢量變換矩陣MSi_Sic取PSi_Sic中的前3行和前3列。

1.3 從加工坐標(biāo)系到嚙合坐標(biāo)系

離散齒面嚙合分析在嚙合坐標(biāo)系中進(jìn)行。令小輪坐標(biāo)系S1的初始位置S10與嚙合坐標(biāo)系Sh重合，那么，從小輪和大輪加工坐標(biāo)系到嚙合坐標(biāo)系的變換關(guān)系為

式中：φ1、φ2分別為 Si0與 Si之間的夾角；MSih_Si0、MSi0_Si做法同式（1）。

2 齒面嚙合點求解技術(shù)

2.1 離散點插值與加密的雙3次樣條法

測量得到的齒面離散點過于稀疏，需要加密。采用3次樣條先沿齒長方向分段光順，然后在樣條曲線上插入離散點；再沿齒高方向用3次樣條光順，同樣插入離散點。這種分別沿齒長和齒高方向插值和加密的方法稱為雙3次樣條法[11]。

2.2 齒面間距求解的局部坐標(biāo)法

為了計算齒面間距，以靠近小端齒頂、小端齒根和大端齒根的3個離散點構(gòu)建齒面局部坐標(biāo)系。將小輪和大輪齒面離散點從加工坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到該坐標(biāo)系中，從一齒面上的離散點沿該處法線方向作直線，與另一齒面上3個相鄰點構(gòu)成的三角形平面相交。當(dāng)交點位于三角形內(nèi)時，與三角形頂點連線之間的夾角之和等于360°，否則，交點位于三角形之外。一般交點不會落在離散點上，為此，用相鄰離散點構(gòu)成的四邊形的1個角點來代表求解結(jié)果。當(dāng)離散點間距足夠小時，可以將角點看作交點。齒面距離采用有向直線表示。當(dāng)齒面有間隙時，距離為正；當(dāng)齒面干涉時，距離為負(fù)。

2.3 搜索齒面最小間距的流水法

計算齒面最小間距采用全齒面搜索需要很長時間。為此，當(dāng)從一齒面發(fā)出的直線與另一齒面相交后，即以該點為中心，與包圍它的8個相鄰離散點一起組成1個包含9個離散點的小網(wǎng)格。分別計算這些點上發(fā)出的直線到另一齒面的有向距離，從中找出距離最小的點。當(dāng)距離最小的點位于小網(wǎng)格的中心時，即停止計算。上述過程稱為流水法。

2.4 齒面最小間距調(diào)整的無約束優(yōu)化法

輪齒嚙合分析，就是在一齒面保持不動時，讓另一齒面靠上去，直到2者相切。當(dāng)齒面間的最小間距滿足預(yù)定的收斂條件而接近于零時，即認(rèn)為找到齒面嚙合點，不作齒面法線重合的判斷。當(dāng)齒面網(wǎng)格足夠小時，嚙合點齒面法線誤差可以忽略。在調(diào)整齒面間距時，因無法判斷齒輪轉(zhuǎn)角需要調(diào)整的范圍，故采用無約束優(yōu)化方法，建立齒面最小間距為目標(biāo)函數(shù)，齒輪轉(zhuǎn)角為優(yōu)化設(shè)計變量的優(yōu)化模型。

2.5 齒面逐級加密

為了保證計算精度，齒面網(wǎng)格需要加密。但采用很密的網(wǎng)格，勢必花費很長的時間。為此，先用較粗的網(wǎng)格計算齒面間距最小點；然后以該點為中心，選擇與其相鄰的若干點，組成1個小齒面；再次采用雙3次樣條插值和加密，計算齒面最小間距。此過程可以一直進(jìn)行下去，直到達(dá)到滿意的計算精度。

3 數(shù)值齒面嚙合分析

3.1 傳動誤差曲線與齒面接觸印痕

在嚙合分析時，小輪轉(zhuǎn)角等距變動，調(diào)整大輪轉(zhuǎn)角至小輪齒面與大輪齒面相切，大輪轉(zhuǎn)角的變動量為

式中：φ1、φ2分別為小輪和大輪的當(dāng)前角位置；φ10、φ20分別為小輪和大輪的初始角位置；z1、z2分別為小輪和大輪的齒數(shù)。

按照格里森公司經(jīng)驗，取齒面壓限量為0.00635 mm，計算齒面干涉區(qū)域，由此獲得齒面接觸印痕。

3.2 嚙合分析流程

綜合運用上述數(shù)值嚙合分析技術(shù)，模擬齒輪嚙合過程，如圖2所示。

4 實例

以某型發(fā)動機(jī)附件傳動中弧齒錐齒輪副的小輪凹面和大輪凸面為例，采用Matlab編程，進(jìn)行離散數(shù)值齒面嚙合的具體應(yīng)用分析。

齒輪副基本參數(shù)見表1。

經(jīng)三坐標(biāo)測量儀得到齒面離散點數(shù)據(jù)。齒面測量點數(shù)據(jù)和光順后的結(jié)果如圖3所示。齒長方向結(jié)點最大間距0.831mm，齒高方向結(jié)點最大間距0.591mm。

表1 齒輪副基本參數(shù)

將圖3中的數(shù)據(jù)經(jīng)式（1）和式（2）變換至嚙合坐標(biāo)系中，如圖4所示。其中，圖4（a）為加密前齒面副；圖4（b）為齒面網(wǎng)格加密后尚未接觸；圖4（c）為小輪不動、大輪齒面與小輪齒面剛剛接觸。

圖4 嚙合坐標(biāo)系中的齒面副

數(shù)值齒面輪齒嚙合分析過程和結(jié)果如圖5所示。圖 5中（a）、（b）、（c）為嚙合分析開始、中間和結(jié)束的瞬時接觸區(qū)，其中的虛線部分為測量數(shù)據(jù)的邊界；圖5（d）為單齒嚙合的接觸印痕；圖5（e）為相鄰3對齒的傳動誤差曲線。因齒面測量數(shù)據(jù)限于齒面邊界內(nèi)，在旋轉(zhuǎn)軸截面內(nèi)，測量數(shù)據(jù)只有部分重合，如圖6中四邊形ABCD所示，所以相鄰傳動誤差曲線沒有相交，也無法得到多齒嚙合的接觸印痕。

5 結(jié)論

（1）提出基于3坐標(biāo)齒面測量數(shù)據(jù)的弧齒錐齒輪離散數(shù)值齒面嚙合分析的一系列方法，經(jīng)對航空弧齒錐齒輪的嚙合分析，證明了這些方法的有效性。

（2）為了獲得光滑的齒面接觸跡和傳動誤差曲線，網(wǎng)格間距的最大值不應(yīng)大于0.01mm，嚙合分析時的小輪轉(zhuǎn)角步進(jìn)量不應(yīng)大于0.01 rad。

（3）由于3坐標(biāo)測量齒面測量數(shù)據(jù)比實際齒面要小，基于此的嚙合分析一般無法獲得完整傳動誤差曲線和嚙合印痕。為了全面評價真實齒面的嚙合性能，需要以齒面測量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，反求真實齒面加工參數(shù)，重構(gòu)和拓展齒面，并經(jīng)輪齒嚙合分析，再現(xiàn)完整的嚙合性能。

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