對一道教材習題的解法探究

江寶龍

摘 要： 教材是學生學習的根，是學生發展思維的源.教學過程中應充分體會編者對內容處理，體會新課程的理念，加深學生對知識的理解，鍛煉學生的思維能力.教材習題是經過專家精心挑選的，充分地挖掘教材習題，深化習題教學，創造性地使用教材習題，可以調動學生的學習積極性，發展學生的思維能力，大大提高學習效率，收到事半功倍的效果.

關鍵詞： 教材習題 構造法 發散思維

一、原題再現——重視課本知識

人教版《數學》選修4-5習題1.1第11題：

題目：已知a，b.c∈R■，a+b+c=1，求證：a■+b■+c■≥■.

《教師用書》證法：3（a■+b■+c■）=2（a■+b■+c■）+（a■+b■+c■）

=（a■+b■）+（b■+c■）+（a■+c■）+（a■+b■+c■）

≥2ab+2bc+2ac+a■+b■+c■=（a+b+c）■=1

所以a■+b■+c■≥■.

二、編者意圖——加深方法理解

該證明方法從所要證明的結論出發，通過“構造”方法，將a■+b■+c■構造成基本不等式形式，構造出a+b+c=1的定值，巧妙地與（a+b+c）■聯系在一起.筆者在教學過程中發現，學生容易從條件的平方入手，借助于基本不等式證明該結論.但編者為什么要從結論出發呢？筆者認為是“構造”方法的滲透.在選修4-5不等式選講中，從絕對值的三角不等式到基本不等式在到柯西不等式和排序不等式，無不體現“構造法”在解題中的優越性，同時構造法也是數學中的一種重要的方法.教材是學生學習的根，是思維方法的源，仔細研究教材，體會編者的意圖，在教學中加以滲透，既能加深學生對知識的理解，又能鍛煉學生的思維能力.

三、一題多解——發散學生思維

法二：（a■+b■+c■）（1■+1■+1■）≥（a+b+c）=1

所以3（a■+b■+c■）≥1，即a■+b■+c■≥■.

此方法巧妙地構造柯西三維不等式的形式，利用柯西不等式對其進行證明，證明簡潔，容易理解，但要求對柯西不等式的基本形式理解透徹.

方法三：

設f（x）=（a■+b■+c■）x■+2（a+b+c）x+3.

因為f（x）=（a■+b■+c■）x■+2（a+b+c）x+3

=（a■x■+2ax+1）+（b■x■+2bx+1）+（c■x■+2cx+1）

=（ax+1）■+（bx+1）■+（cx+1）■≥0，

所以f（x）≥0恒成立，

所以Δ≤0，即4（a+b+c）■-12（a■+b■+c■）≤0，

又因為a+b+c=1，所以a■+b■+c■≥■.

此方法由柯西不等式的證明方法啟發得到.巧妙地構造出一個二次函數，轉化成判別式即得到所有結論.

方法四：

設a=■+Δ■，b=■+Δ■，c=■+Δ■，其中Δ■+Δ■+Δ■=0.

因為a■+b■+c■=（■+Δ■）■+（■+Δ■）■+（■+Δ■）■

=■+■（Δ■+Δ■+Δ■）+（Δ■■+Δ■■+Δ■■）

=■+（Δ■■+Δ■■+Δ■■）≥■，

所以a■+b■+c■≥■.

圖1 圖2

方法五：

定義1：如果函數f（x）對其定義域中任意的x■，x■都有如下不等式f（■）≤■[f（x■）+f（x■）]（f（■）≥■[f（x■）+f（x■）]）成立，則稱f（x）是下凸（凹）函數（如圖1）（上凸（凹））函數（如圖2）.

定理1（詹生不等式）若函數f（x）在區間I是上凸函數，則有不等式：

f（q■x■+q■x■+…+q■x■）≥q■f（x■）+q■f（x■）+…+q■f（x■）（3）

若函數f（x）在區間I是下凸函數，則有不等式：

f（q■x■+q■x■+…+q■x■）≤q■f（x■+q■f（x■）+…+q■f（x■）（4）

其中x■∈I，q■>0，i=1，2，…，n；q■+q■+…+q■=1.

詹生不等式由函數的凸凹性得到，函數的凸凹性在人教必修一第53頁復習參考題B第5題得以滲透.

證法：因為a，b，c∈R■所以構造（0，+∞）的下凸函數f（x）=x■.

由詹生不等式得■≥f（■），

即■≥f（■）=■，所以a■+b■+c■≥■.

四、結論推廣——歸納一般結論

1.a，b，c，d∈R■，a+b+c+d=1，求證：a■+b■+c■+d■≥■.

2.a■，a■，a■…a■∈R■，a■+a■+…+a■=1，求證：a■■+a■■+…+a■■≥■.

五、高考鏈接——回歸教材根源

2013新課標（Ⅱ）卷理科選修4-5：

已知a，b，c，∈R■，a+b+c=1，求證：ab+bc+ac≤■.

2013湖北理科13題：

x，y，z∈R，x■+y■+z■=1，x+2y+3z=■則x+y+z=？搖？搖？搖？搖.

參考文獻：

[1]人民教育出版社課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-5[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[3]劉玉璉.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]數學課程標準研制組.普通高中數學課程標準（實驗）解讀[M].江蘇：江蘇教育出版社，2007.