數學文化在微積分教學中滲透的思考和設計

林錳　柴艷有

【摘要】本文從自身的教學實踐出發， 強調在數學教學中滲入數學文化的重要性，介紹了數學文化在微積分教學中如何滲透，以及可以采取哪些辦法將數學文化滲入微積分的教學，從而使學生在學習微積分的基本概念和基本思想方法之余，領略數學思想方法對人類文明的貢獻、體會數學重大發現的艱辛、明了數學與其他學科的關系、感受數學的美，了解相關微積分概念的發展歷史， 微積分對人類文明的貢獻以及微積分與其他學科的關系等數學文化知識。

【關鍵詞】微積分 數學文化教學 教學 滲透

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）05-0134-02

1.引 言

眾所周知，我們國家是一個數學大國，也是一個數學古國，早在2000多年前，我們祖先就有“周三經一”的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國家到了17世紀才有這樣的概念，陳景潤關于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震驚。然而，從數學的公眾形象談起，在大多數公眾的心目中是一堆數字和公式，抽象、深奧甚至神秘，而對數學的應用價值也不甚了了。

數學的這種公眾形象從發展現代教育與科學的角度看是堪憂的。微積分學更是大學中作為工具的基礎課程之一， 是關于數量關系和空間形式的科學， 對于在大學就讀的學生來講，在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數學的文化精神、數學的思維方法，都是學生們潛在的一種工具，對于現代化社會而言，數學素質應該是公民所必須具備的一種基本素質.所以，將數學文化融入微積分教學中，不僅僅是為了學生在大一學習中能在了解數學文化的背景下掌握大學必修工具學科的知識，也是為了切實地將我國的教育提高到現代的先進的水準，使人們樹立起正確的數學價值觀，具有十分重要的意義。

2.數學文化在微積分教學中滲透的意義

微積分學是高等院校的教學中一門傳統的基礎數學課程，它不僅為學習工科類專業和經濟類專業的知識提供了必要的工具，更能培養發展學生的精密思維能力，促進學生運用數學思維去思考專業問題。

但傳統的微積分教學重視的是數學抽象性、邏輯性、系統性，注重定理的論證、公式的推導和解題的演練，而忽視了數學的文化層面，由于其本身抽象性等原因， 這樣給不少學生留下了數學課枯燥的印象，因而失去學習微積分的熱情與興趣。筆者通過十幾年的“微積分”課程教學實踐和幾年的“數學文化”課程教學感受，深切體會到在微積分教學中適時恰當的融入數學文化元素，不僅能讓學生領略數學思想方法對人類文明的貢獻、體會數學重大發現的艱辛、明了數學與其他學科的關系、感受數學的美等等，也能讓學生在定理、公式的證明過程中，不單單死記硬背而是掌握理解的思想方法，既能激發學生學習數學的積極性，又可以最大限度地調動學生學習數學的興趣 ，從而達到相對最佳教學效果。

3.數學文化在微積分教學中滲透的內容

3.1揭示微積分中數學語言的文化背景，加深對數學概念的理解

微積分學中的很多概念，既可以用常用語言表述，也可以用“數學語言”來表述，例如在數列{xn}的極限概念中，■xn=A的定義，用一般語言描述為為“當n無限增大時，數列xn與定數A無限的接近，要多近有多近”，另一種更精確的描述為“對任意給定的ε>0，總可以找到N∈Z+，使得當n>N時，總有|xn-A|<ε。后者就是所謂的”數學語言，即“ε-N”語言，同時還有類似的“ε-δ”語言等等，這些都是一種簡約、抽象的科學語言，它作為數學思維的載體是進行有效數學交流的前提。

在微積分教學中， 我們幾乎處處可見數學語言，但若是在知識的傳授和應用中忽視數學語言的產生背景和其內涵的討論，會造成一些學生只能對其“死記硬背”，甚至對其產生一定的誤解，同時感受到微積分概念的枯燥和抽象。

如果我們在講授概念的數學語言的同時，介紹其產生的背景， 指出真理被發現的艱辛常常是多少代人共同努力的結果，這樣才能使學生對數學概念的特征有所認識。例如，在講授上述極限概念的“ε-N”等語言中，我們同時講述微積分這一銳利無比的數學工具幾乎在十七世紀同一時期，為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現，創立微積分學的初期，由于當時微積分的理論基礎非常薄弱，常常有不能自圓其說的情況。不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因此，它遭到了當時不少人的猛烈抨擊，如貝克萊等。數學史上將其稱為“貝克萊悖論”，直白的講，就是“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際應用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂，由此導致了第二次數學危機的產生。后由法國著名數學家柯西邁出了第一大步，使分析基礎嚴密化，再后來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ”語言。

3.2 融入微積分中豐富的史料，感受數學文化的理性精神

微積分作為伴隨著人類文明的發展而發展的工具，從公元前五世紀無窮小概念的萌芽到十七世紀牛頓、萊布尼茲最終建立微積分，再到十九世紀極限概念的最終確立，經歷了漫長的歷史長河，所以，在微積分教學中，可以適時適當地選取關于介紹數學發展的數學文化以豐富教學。例如，牛頓的老師巴羅在對無窮小分析中已察覺到切線問題與求積問題的互逆關系，但執著于幾何思維妨礙他進一步逼近微積分的基本定理。 雖然牛頓，萊布尼茲創立微積分是一項劃時代的科學成就， 但其中也存在邏輯上的問題，在這一時期除去貝克萊之外，還有一個比薩大學哲學和數學教授格蘭弟（Grandi），他在級數收斂，發散含混不清的情況下，提出了一個怪論叫作“從虛無到創造萬有”，來攻擊微積分學中的無窮級數。在柯西的努力下，才使連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數。1892年，另一個數學家創用“區間套原理”來建立實數理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多杰出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。

也正是很多帶著批判眼光的學者的“怪論”才使如牛頓、柯西、傅里葉、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等很多的數學家能在自己各自領域上潛心研究，從而有了我們今天較為完善的微積分學。在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。通過將其穿插融入微積分教學中，不僅豐富了教學內容，而且在使學生緩解聽課疲勞的同時，感受到數學家們平凡而偉大的人格魅力，以及對數學執著的追求精神，并從中獲得鼓舞和激勵，在學習中正確對待自己遇到的各種困難，培養勇于進取、堅忍不拔的拼搏精神。

3.3 探索生活中的教學素材，體會數學的應用之美

數學有三個層面：一個層面就是公式定理， 像勾股定理、 求根公式等等。第二個層面就是思想， 就是我們公理化思想， 數形結合、 函數思想等等。 還有一個層次就是文化價值。數學有好的數學，有價值的數學， 有意義的數學， 這是一種看法。

數學文化的價值不僅在于知識本身，而且在于它的應用價值，從這個角度講，數學應用的教學是數學學科與數學文化結合的最佳點。因此，教師應將學生的生活與數學學習結合起來，讓學生熟知、親近的生活進入數學課堂，在解決實際問題過程中培養學生的應用能力。例如，在導數應用的教學中，可以讓學生思考將熟悉的生活情境抽象成最值問題，如“用鐵皮做成一個容積一定的容器， 問應當如何設計，才能使用料最省？”。

又如，在講微分方程時，可以舉例如下：“熊熊的烈火錘煉著一把刀具，想把刀具拿出來放在實驗室，假設實驗室的室溫是攝氏24°，當時，刀具的溫度是150°，10分鐘后刀具的溫度是100°，那么20分鐘后刀具的溫度是多少度呢？” 并給出給出數學模型是：

■=-k（u-uα）

其中u為刀具在t時的溫度，k>0為一個常數，uα為室溫，解這個方程可以算出20分鐘后刀具的溫度是64°。

這使教學變得生動有趣，這不僅能夠激發學生的學習興趣，也能培養他們在解決問題過程中學會用數學的觀點解釋生活中的現象，體會數學的應用之美。

4.總結

如果把數學看成僅僅是邏輯， 僅僅是形式，僅僅是思想的體操，那么我們就是很少注意文化的層面，而在微積分的教學活動滲入數學文化， 就是為了使學生對作為工具基礎學科的微積分課程有一個基本的認識和理解，對數學與其他學科的關系和與生活中的聯系有一個基本的認同和體會， 同時，也是為了使得微積分課堂中再也不是以往單一枯燥的“定理、公式、習題……”等基本的數學知識，而是通過“介紹定義定理的發現者、背景分析”，使學生了解微積分學中一些概念產生的始末，以及賴以生長的“土壤”，以豐富學生對其的感性體驗；還通過講一段“數學故事、數學家逸事”，使數學知識折射出人類的意志和智慧的光芒，使學生在感動、開心之余更好地理解掌握數學知識；也就是使微積分教學更有親和力. 在同學們對其興趣倍感增加之后， 再進行數學思想方法的嚴格訓練， 才能起到事半功倍的效果， 才能使學生在輕松愉悅之后更好地理解和思考微積分思想的真諦。

總之，在微積分教學中滲透數學文化，就是實現數學文化和人類文明的整合，搞清楚數學的文化背景，搞清楚數學成就的文化價值，把數學的結果的文化品位發掘出來， 用文化的視野來看數學，用數學的眼光來看文化， 發展現代數學， 弘揚世界的文化。

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