數學美與解題

顧維明

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）04-0141-02

數學是一個五彩繽紛的美的世界，當我們認識到它時，就可以改變對數學的成見，極大地提高學習數學的積極性。因此在平時的教學中，我們應注意挖掘數學中美的素材，培養學生的審美意識和數學美感。在解數學題時，應以審美的心態去觀察、思考，看能否運用美學的方法——簡單性方法、和諧性方法、對稱性方法、類比性方法、奇異性方法等來解決數學問題，本文對此略作探索。

一、從整體代換和正難則反中實現簡單美

簡單性是數學美的基本內容之一，法國哲學家狄德羅說：“數學中所謂美的問題是指一個難以解決的問題，而美的解答是指一個問題的簡單解答。”

例1 已知一元二次方程ax2 +bx+c=0的兩個實數根分別為m、n，記p=m4+n4，q=m3+n3，r=m2+n2，求ap+bq+cr的值。

分析：本題若用根與系數的關系m+n=-b/a，mn=c/a 直接代入，運算非常復雜；若運用方程根的意義，再整體代換，則十分簡捷。

解：由方程的定義，得am2+bm+c=0，an2+bn+c=0，則ap+bq+cr=a（m4+n4）+b（m3+n3）+c（m2+n2）=（am4+bm3+cm2）+（an4+bn3+cn2）=m2（am2+bm+c）+n2（an2+bn+c）=m2·0+n2·0=0。

例2 學校有132人參加乒乓球選拔賽，采用輸一場即予淘汰的單淘汰制。為了決定第一名，共需進行多少場比賽？

分析：若從正面考慮，需分別求出每一輪比賽的場數再相加，顯然不符合簡單性原則，不妨考慮其反面，選拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要進行1場比賽，故需進行131場比賽。

二、從全局考慮和合理猜測中體現和諧美

希臘數學家裴安說過：“和諧美是雜多的統一，是對立的協調，經過數學變化出現了統一的均衡美。”和諧化原則能幫助我們制定解題策略，為我們指明解題方向。

例3 求證：2/1·5/4·8/7·…·（3n-1）/（3n-2）>n為正整數）。

分析：不等式左邊的結構是有規律的，同時又似乎有點不完整，和諧化原則指引我們把左邊的結構補充完整。