數感在“追問”中生成

高飛

課堂提問是學生思維的引擎和路標，又是教師了解學生知識學習、方法掌握的重要渠道。而課堂追問是在前次提問基礎上的延伸和拓展，能促進學生積極、深入地思考，進而，有利于學生理解和掌握知識的內在聯系，完善學習者的知識體系。《數學課程標準（2011）》指出，“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念……”。可見，基于具體教學內容，促進學生數感全面、持續、和諧地發展是數學課程教學所要承擔的首要任務。同時，《數學課程標準（2011）》解釋說：“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表達具體情境中的數量關系。”不難看出，估算教學是培養和發展學生數感的重要渠道之一。那么，在估算教學中，如何借助追問，在促進學生理解和掌握估算方法的基礎上，發展學生的數感呢？我以“兩位數乘兩位數的估算”（蘇教版國標本小學數學三年級下冊）教學為例談談自己的思考，求教大方。

教材主題圖：

一、 通過追問，讓學生在“知其然”，又“知其所以然”的境地中，初步建立數感

教學片段1：

師：先估計42×29的積大約是多少？并說明理由。

先讓學生獨立思考，然后組內交流想法。

師：誰愿意把估計的結果跟大家交流一下？

生：我估計：42×29的積大約是1200左右。

師：說說你是怎樣想的？

生：把42看作40；29看作30。因為40乘30得1200，所以我估計得數是1200左右。

板書：

42×29 1200左右 想：40×30=1200

將兩個乘數分別看作接近于它們的整十數，利用整十數乘法的口算，估計出得數是多少。這是學生將估算兩位數乘以一位數學習過程中習得的知識和經驗的主動遷移與應用。而與一個兩位數比較接近的整十數通常還有兩種情況，一種是比兩位數小些，另一種是比兩位數大些。所以估計兩位數乘兩位數的積，一般有三種思考方式。正如例題呈現的三個卡通人物所估計的那樣。教材要求學生體會“三種”估算方法，理解如此表述估算結果的科學道理。同時，為不同學生開展個性化估算活動積累經驗，以及為根據具體情境的需要，選擇適切的估算方法解決問題做好準備。鑒于以上分析，對于課堂上學生沒有生成的另外兩種估算方法（即利用“四舍”、“五入”法估算），筆者鼓勵學生通過看書自學的方式進行學習。個中，不僅僅是關注估計的結果，更加重視學生理解估算的思考方法。

教學片段2：

師：估算42×29，看一看課本上有幾種想法？其中，哪些想法我們已經想到了？還有哪些想法我們沒有想到呢？想一想、議一議圖中的“辣椒”、“蘿卜”各是怎樣想的？

（1）學生翻開課本第33頁，自學課本上“辣椒”和“蘿卜”的想法。

（2）思考后，在小組內交流或討論兩種估算的思考方法。

（3）集體交流。

師：誰能說一說：估計得數比800多，是怎樣想的呢？

生：把42看作40；29看作20。因為40乘20得800，所以，估計得數比800多。

板書：

42×29 比800多 想：40×20=800

師：估計得數比1500少，又是怎樣想的？

生：把42看作50；29看作30。因為50乘30得1500，所以估計得數比1500少。

板書：

42×29 比1500少 想：50×30=1500

對運算結果的估計就是基于算式中數的表征，利用“湊整”思想，借助于四則運算的口算方法，對式題的結果進行推測。因此，思考的維度不同，得到的估算結果也不一樣。但是，無論哪種結果的背后都蘊含著有價值的思考過程。通過由果溯因式的追問，引導學生積極地展示自己的所思、所想及所悟，其目的不僅僅是評價估算結果是否合理，更重要的是學生在不斷反思和交流活動中，對數的“感覺”也如影隨形般地產生。

二、 通過追問，讓學生在反復思辨中體會各種“表述”方式的科學道理，培養學生的數感

教學片段3：

師：（指板書）估計42×29的積比800多。這里的“多”字能不能去掉呢？你是怎樣理解的？

生：不能去。把42看作40，29看作20。因為兩個乘數同時比原來看小了，所以42×29的積不會小于或等于800，而是比800多。

生：如果去掉多字，就不知道42×29的積在800的左邊還是右邊了。

師：估計42×29的積比1500少。這里的“少”字，又怎樣解釋？

生：就是積比1500小。

生：把42看作50，29看作30。因為兩個乘數都比原來看大了，所以42×29的積一定不會大于或等于1500。

師：想一想，估計得數是1200左右，這里的“左右”是什么意思？

生：把42看作40；29看作30，就是把兩個乘數看作最接近于它們的整十數，這樣，估算出的結果跟實際的積差不多。

師：假如給這三種估算方法命名的話，你打算起什么名字？

生：比800多，叫往小估。（板書：往小估）

生：比1500少，叫往大估。（板書：往大估）

生：在1200左右，叫往中間估。（板書：往中間估）

通過對關鍵詞“多”、“少”、“左右”刨根式的追問，加深了對估算結果的體會。而接下來的命名過程就是對估算方法進行甄別、分類的過程。此時，學生憑借在估算活動中獲得的充分感知和豐富體驗，對不同結果的由來進行分析和比較、歸納和概括。進而，根據三種思考方式的特點進行分類并命名。所以，這里的命名不是學生的主觀臆想，而是基于對42×29的積的深入理解和深刻認識基礎上的“頓悟”。與此同時，隨著學生腦海里關于42×29的積的范圍及其定位逐漸清晰，數感也在不知不覺中拔節生長。

三、 通過追問，引導學生應用“三個”估算結果構建42×29的積的存在范圍及其相近位置，發展學生的數感

教學片段4：

師：現在，誰能說一說：42×29的積一定在哪兩個數之間？為什么？

生：因為42×29的積比800多，比1500少，所以在800～1500之間。（如圖2，在數軸上標出800、1500，并畫出范圍。）

師：42×29的積在哪個數附近？為什么？

生：應該在1200左右。（如圖2，在數軸上標出1200。）

生：把42看作40；29看作30。將兩個乘數分別看作最接近的整十數，這樣，40乘30的積就最接近于42×29的積。

師：想一想，實際的積到底在1200右邊，還是左邊呢？

生：在右邊。把29看作30，42×30=1260。因為1200<1260，所以在右邊。

師：你能在直線上標出42×29的積的大致位置嗎？

學生思考、交流之后，指名學生在直線上用紅色標出42×29的積的位置（如圖3）。

出示數軸： （42×29的積）

……

雖說學生在估計42×29的積的一系列活動中獲得了豐富的感知和體驗，但是這些感知和體驗，猶如一顆顆美麗的珍珠處于一種散落的狀態。這里，通過遞進式追問，借助于直觀的數軸，將不同的估算結果統一起來，引導學生在比較與辨析中，確立了42×29的積的存在范圍及其相近的位置，即在800和1500之間，且靠近1200。最后，當學生在數軸上標出42×29的積的大致位置時，對42×29的積的感悟已經形成。

教學《兩位數乘兩位數的估算》，主要目標是“讓學生經歷探索兩位數乘兩位數的估算方法的過程，能估算一些兩位數乘兩位數的積。”不難看出，估計42×29的積的教學到學生理解和掌握三種估算方法這一步就結束未嘗不可。但這樣一來，就失去了一次難得的培養學生的數感的機會。因此，筆者對這節課的教學進行了重新定位：讓學生經歷探索兩位數乘兩位數的估算方法的過程；讓學生在反復思辨活動中實現對兩位數乘兩位數的估算的精致化認識；以數軸為媒，統整不同的估算方法，滋養和發展學生的數感。其中，重點開展了“三輪”循序漸進、螺旋上升的追問活動：

一在初獲結論時。教學經驗表明，學生在數學學習活動中，往往一味地追求結果，卻對結果的形成過程或思考過程很少主動地進行回顧和反思。這在一定程度上影響了學生數學活動經驗的提煉和積累。借助追問，能啟發學生主動反思自己的學習過程，積極探尋知識的內核，從而幫助學生理解知識的來龍去脈，既能回答“是什么”，又能回答“為什么”。案例中，估計42×29的積，得出三種不同的結果。通過追問，引導學生反思形成每種結果的思維過程，自覺檢索其背后的思考方法。這樣，不但實現了對估算結果“知其然”，又“知其所以然”，同時積累了一定的思維活動經驗。

二在思辨結論時。所謂思辨結論，就是對已經獲得的結果進行細節上的質疑和拷問，以尋求對知識的深層次觀望為目標，最終達成全面、系統地理解和掌握知識。而憑借追問，可以使學生的思辨活動由膚淺走向深入。案例中，對各種估算結果的描述分別使用了“多”、“少”、“左右”的關鍵詞。這些關鍵詞有什么意義？為什么要使用？開始，學生并不一定關注和理解。通過追問，不僅使學生的目光聚焦于三個關鍵詞，而且又一次激蕩起思維的漣漪。當學生經過深入思考，并能對這些詞語進行理性的分析和解釋后，也就實現了對42×29的積的深層次認識。

三在應用結論時。案例中，基于不同的思考方法，估算42×29的積產生了不同的結果。如果孤立地看待這三種結果，那它們僅僅是42×29的積的三個近似值；假如把這三個結果綜合起來觀察的話，那展現于學生面前的就是一幅描繪42×29的積的“鳥瞰圖”。通過追問，并借助于直觀數軸形式，把所有的估算結果一一呈現出來，從中發現的不僅僅是其“積”的范圍及其相對位置，學生的數感也應運而生，從而實現“1+1+1>3”的功能。

一次次地“追問”，一次次地“思考”，學生的數感亦隨著初獲結論時“孕育”，思辨結論時“生長”，應用結論時“形成”。