簡(jiǎn)單的范例，不簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想

彭如武　姜敏

在一次下鄉(xiāng)教育督導(dǎo)中，聽了一位一年級(jí)女教師教學(xué)“加減法關(guān)系”的復(fù)習(xí)課。課堂教學(xué)中出示如下板書：

聽到這，我為之一振：這不是一堂單純的加減法復(fù)習(xí)課，其中包含的信息量太大了，既再現(xiàn)了加法與減法的產(chǎn)生過程，也讓一年級(jí)學(xué)生初步感受加法與減法的依存關(guān)系，更讓他們?cè)陔鼥V中悟到了一些連自己都說不清楚的東西，那就是數(shù)學(xué)思想。也許，授課教師壓根兒就沒有從這個(gè)高度去思考她的設(shè)計(jì)理念與教學(xué)流程，但在這看似簡(jiǎn)單的板書中能找到十多種數(shù)學(xué)思想的印記，如組合思想、符號(hào)化思想、抽象思想、對(duì)應(yīng)思想、分類思想、窮舉思想、模型思想、類比思想、方程思想、可逆思想、變中抓不變思想、函數(shù)思想等。

自修訂后的課程標(biāo)準(zhǔn)將“雙基”變?yōu)椤八幕保镜臄?shù)學(xué)思想越來越受到一線教師的青睞。那么，上述案例如何體現(xiàn)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想呢？如授課教師問學(xué)生：“8是由哪兩個(gè)數(shù)組成的？”學(xué)生說由1和7、2和6、3和5、4和4、0和8組成，這里就滲透了組合思想在里面，雖然沒有嚴(yán)格意義上組合思想的定義，但對(duì)低年級(jí)的學(xué)生來說，有這樣一個(gè)雛形就足夠了。隨著知識(shí)的積累，這將和排列一起形成初等數(shù)學(xué)中排列組合的重要內(nèi)容，又將涉及更多的數(shù)學(xué)思想與方法。

上述案例中，兩根小棒和六根小棒分別用“2”與“6”來表示，這是抽象思想的再現(xiàn)。抽象思想是最基本的數(shù)學(xué)思想之一，它是在學(xué)生大量感知實(shí)物、數(shù)量的基礎(chǔ)上建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，用數(shù)量來刻畫事物，再?gòu)臄?shù)量抽象為數(shù)，最后又返回去感知數(shù)量的多少和數(shù)的大小，使學(xué)生不斷感悟數(shù)量、數(shù)及其抽象的特點(diǎn)，逐步形成的一種思想。有了數(shù)的抽象這個(gè)過程，學(xué)生就會(huì)將這種感悟、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到點(diǎn)、線、角或其他量的定義上去，形成認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基本特征之一。同時(shí)，“2”和“6”本來就是一種表示數(shù)的符號(hào)，符號(hào)是數(shù)學(xué)存在的具體化身。學(xué)生就在這種無形感知中接受符號(hào)、運(yùn)用符號(hào)，體驗(yàn)符號(hào)所帶來的無窮魅力，符號(hào)化思想就會(huì)在他們的腦海里根深蒂固。

通過“2”和“6”兩個(gè)符號(hào)，可以寫出上述板書中的兩個(gè)加法與兩個(gè)減法算式，當(dāng)教師問“加法算式還有嗎？減法算式能寫幾個(gè)”時(shí)，學(xué)生頭腦中的印記與數(shù)學(xué)客觀事實(shí)告訴他們，庫存的答案沒有了，窮舉的思想在這里嶄露頭角。列舉關(guān)于“2”和“6”的加法算式與減法算式后，學(xué)生會(huì)自然地將加法歸為一類，將減法歸為一類，以至于后面關(guān)于1和7的算式又歸為一大類等，這里學(xué)生于無形之中又涉及分類的思想。數(shù)學(xué)中的分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類進(jìn)行研究，從而解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。它貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中，可以說無處不在，既有概念的分類，如實(shí)數(shù)、有理數(shù)、絕對(duì)值、點(diǎn)（直線、圓）與圓的位置關(guān)系和兩圓相切等的分類，又有解題方法上的分類，如代數(shù)式中含有字母系數(shù)的方程、不等式等，還有幾何中圖形位置關(guān)系不確定的分類，如相似三角形的不確定等。分類必須有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，否則就會(huì)導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤或漏解。同時(shí)，分類思想也會(huì)延伸到生活與其他學(xué)科之中，不僅僅只限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域。可以說，它是一個(gè)廣義的、公共的思想范疇。

當(dāng)學(xué)生看到2、6、8這三個(gè)數(shù)字時(shí)，頭腦中就會(huì)想到2+6=8、6+2=8兩個(gè)加法算式和8-2=6、8-6=2兩個(gè)減法算式，這里根本不需要教師過多的提醒與暗示，說明加法與減法的模型在學(xué)生頭腦中已初步建立，模型思想的滲透已初見效果。模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，它是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外面世界聯(lián)系的基本途徑。小學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)模型主要有加法模型、乘法模型、函數(shù)模型、方程模型等，其中加法模型可以推演出減法模型，乘法模型可以推演出除法模型，函數(shù)模型主要表現(xiàn)在周長(zhǎng)公式、面積公式、體積公式以及“路程=速度×?xí)r間”“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”等數(shù)量關(guān)系中。在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地在生活問題或具體情境的數(shù)學(xué)化過程中，滲透加法模型與乘法模型的思想，并引導(dǎo)學(xué)生利用思想來解決問題。這樣經(jīng)過多次的建立與求解，模型思想就會(huì)日趨成熟。同時(shí)，在加法模型的建立過程中推演出減法模型，通過減法想到加法，這又是可逆思想的運(yùn)用?？赡嫠枷胧沁壿嬎季S中的基本思想，是當(dāng)順向思維難以解答時(shí)，可以從問題或條件思考尋求解題思路的一種思想方法，在解決許多實(shí)際問題中經(jīng)常用到。

有了上述加減法模型的思維引領(lǐng)，對(duì)于后面8分成1與7、3與5、4與4等情況，學(xué)生就會(huì)通過類比的思想方法找出它們之間的關(guān)系，也會(huì)找到組成9、10、11等數(shù)的兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，還可能類比到其他的數(shù)。類比思想是依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想。它不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使公式的記憶變得如順?biāo)浦郯愕淖匀缓秃?jiǎn)潔，還可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。類比思想在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，如學(xué)習(xí)5的乘法口訣推導(dǎo)過程后，他們會(huì)嘗試推導(dǎo)6的乘法口訣、7的乘法口訣、8的乘法口訣等；學(xué)習(xí)整數(shù)的四則混合運(yùn)算后，學(xué)生會(huì)類比到小數(shù)與分?jǐn)?shù)上去。

另外，小棒與數(shù)字的對(duì)應(yīng)，體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)的思想；幾個(gè)不變的數(shù)字與變化的算式，又滲透了變中抓不變的思想；加法與減法算式是一個(gè)等式，中間的一個(gè)量變化，隨之影響另一個(gè)確定量的變化，這里實(shí)際上蘊(yùn)含著方程與函數(shù)的思想……有些思想并不是單獨(dú)存在的，而是伴隨著其他思想應(yīng)運(yùn)而生，單獨(dú)割裂開來反而冏境叢生。

中國(guó)科學(xué)院院士張景中先生曾說過：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單。盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想?！边@些思想是學(xué)生學(xué)習(xí)掌握各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容的靈魂，是學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念、建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系、思考和解決問題的主線。因此，學(xué)好一門學(xué)科的基本知識(shí)和基本技能，讓學(xué)生清晰地了解知識(shí)的產(chǎn)生過程、知識(shí)間的相互聯(lián)系以及整個(gè)知識(shí)體系的框架，在此基礎(chǔ)上使學(xué)生形成終身受益的思想方法，是教師切需要解決的問題。

（責(zé)編 杜 華）