對“問題”進行再“問”的教學設計與思考

王增良

對于數學問題的解決，教師常要求學生在數學解題過程中，要做到仔細審題，弄清題意，擬定計劃，然后實現解題目的.教學中，要解決數學問題，學生往往被有效的問題分析、計劃制訂所困擾.如何讓學生在復習過程中提高解題的有效性呢？本文對一類數學問題的解決，提出了對“問題”進行再“問”的做法.

什么是對“問題”再“問”？就是指針對題目的問題中出現的概念或未知量進行設問.通過對“問題”的再“問”，引導學生主動發現和構建問題，獲取“怎么再問”的技能，從而弄清問題的實質.筆者就“與垂線段有關的最值問題”一課為例，做了嘗試.

一、問題的設計及教學意圖

課始，我給出了一個填空形式的課題——“與有關的最值問題”，目的是讓學生懷著一種揣摩、期待的心境，激發學生求知的欲望.課中，我按讓學生通過自助選題→交流合作→師生互動→給出結論這樣的教學流程進行教學.可是由于學生自助與合作過程的不理想，本人做了策略上的調整.

1問題引導，重現知識點

[例1]如圖1，在Rt△ABC中，D是斜邊AB上一動點，CB=6，CA=8，那么線段CD的長最小值為.

圖1問題設計意圖：重溫幾何中“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的知識點，能讓學生理解“垂線段最短”的道理.

2分層遞進，深化知識點

變式1：如圖2，在Rt△ABC中， CB=6，CA=8，M為斜邊AB上一動點，過M作MD⊥AC于D，過M作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小值為（）.

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學生進入了思考，將近三分鐘，有一位學生給出了一個答案“當矩形MDCE為正方形時，ED最短”，并解答.經過大家的討論、師生的互動，認為該生的解答有誤.而其他學生也沒有其他的作答.學生的表現，出乎我的意料之外.

教師跟學生進行了分析、交流，發現：由于本題中D、E是兩個動點，大家在思考時，著眼于從特殊位置這個角度去猜測.故猜測DE是中位線或矩形MDCE為正方形時進行解答.但這兩種特殊情形經過分析都是不合題意的，這也讓學生明確了解題受阻的原因所在.于是，教師引導大家作出了一個再問“問題”的解題指導.

提問：DE在本題中的本質特征是什么？（學生很快就回答出了“是對角線”）

接問：那么DE和什么相等？（學生答是CM，馬上下面就有學生叫出了答案）

問題設計意圖：本題意在通過DE向CM的轉化，對問題做一個簡單變換，達到知識的深化.原來以為大多數學生能做出來，卻沒想到學生思維受阻，解題不理想，也讓我突發了這個再問“問題”的教學指導.

變式2：如圖3，在△ABC中，AB=10，AC=8， BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與CB、CA，分別相交于點E、F，則線段EF長度的最小值是.

圖3學生經過長時間的思考、交流，也沒有想出具體的解題方法.于是教師同樣提出了再問“問題”的啟發指導.

提問：EF在題目中，根據圖形的特征是什么？（學生思考不久就說出了“是圓的直徑”）.

接問：那么直徑EF與經過點C與相切于點D，有什么關系呢？

再問：設圓心為O，與切點相關的常見的輔助線是什么？（學生回答連接OD，同時學生把OC也連接了）

很快有學生發現EF就是OC+OD，馬上有學生叫出來：OC、OD共線，即CD⊥AB時最短.

問題設計意圖：通過交流思考，一方面進一步深化知識點，應用這一性質把折線最短轉化為垂線段最短問題來解決；另一方面通過解題方法的引導，讓學生經歷并領會對問題進行再“問”的思考過程及轉化方法，培養學生思維的深刻性和轉化能力.

3方法嘗試，拓展知識點

經學生思考后，教師引導學生分析解題過程.

提問：根據圖形特征EF在本題中是什么？（學生自答是弦）

圖4接問：圓中的弦長通常怎么計算？（學生答作弦心距，構建直角三角形）

如圖5，過O點作OH⊥EF于H，則在Rt△OEH中，∠EOF=60°.

學生得出了只要HE最短即可.

圖5再問：要使HE最短，則需什么最短？（學生答OE最短，也即直徑最短，即AD最短即可）

問題設計意圖：通過這種對問題再“問”的嘗試，引導學生從問題入手，對問題進行較為直觀的、可操作的轉化，避免那種沒頭緒、耗時間、無為的思考，培養學生解決問題的意識和能力.

二、對問題再“問”教學的思考

1對問題再“問”，是進行有效轉化的核心思想

以上幾個案例，實際上都是通過轉化思想，把看似有難度的問題，轉化為學生已經認知的問題或結論.但僅僅從轉化這個角度來引導學生解題，切入口有點寬泛，沒有針對性，難找到合理且容易入手的轉化辦法.前面學生在解決問題中表現出來的困難，實際上就是學生缺乏對問題有效轉化的思想意識和操作能力.通過對問題再“問”的處理，有效地解決了學生入手解題的難點，讓學生恍然大悟或有頓悟之感.對于上述問題解決的再問過程，并不僅僅是簡單的再問，而是通過再問的形式，創設一定的情境，讓學生主動地形成有價值的問題，從而進行直接或間接的可接受的轉化，達到問題解決的目的.從這個意義上來說，再“問”是解決問題進行有效轉化的核心.

2對問題再“問”，是解決某些問題的關鍵所在

分析上面幾個案例，我們僅僅停留在對問題中包含的概念未知量等一些要素的再“問”上.再“問”的系列問題提出，也是比較合理的，相互之間的遞進也比較明確，但很多數學問題的再“問”卻是需要擬定一些復雜的計劃，當然這里有它的創造性和必然性.

[例2]如圖6，已知邊長為a的正△ABC，兩頂點 A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，聯結OC，則OC的長的最大值是.

經過這樣的再“問”，解決問題也就順理成章了.但這種再“問”，需要有很強的數學解題意識，是一種創造性的發問.當然探索一般問題，從特殊入手，也是它的必然性.在這里關鍵是如何再“問”.

3對問題再“問”，是培養問題意識的重要途徑

波利亞在他的《數學解題表》里有這樣的描述：如果你不能解決提出的問題，可先解決一些有關的問題，你能否想出一個更容易著手的有關的問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題……對問題再“問”，就是要培養學生的問題意識，讓學生能在不斷的自問、再問中，弄清“問什么”和“怎么問”，來提高對問題的認識.對問題再“問”，就是要讓學生養成一種習慣，逐漸形成高水平的、有指導性的、富于探究性的“問”.因此，教師要善于將本質的數學問題設計成一系列的層層遞進的各個問題，從而揭示問題解題中的思維過程和思維方法，有效提高學生的解題能力.

（責任編輯黃春香）