將數學建模思想融入中學數學教學

李柱元

近幾十年我國大中小學數學教育的改革表明，加強教學中數學建模思想和能力的培養是幫助學生培養解決問題能力的一種非常有效的方式.它既是應試教育的有力武器，也是素質教育的有效模式，在中學數學教學中融入數學建模思想可謂一舉多得.

一、 數學建模對學生綜合素質的作用

1.提高學生分析問題、解決問題的能力. 數學建模的第一步是訓練學生的抽象概括能力.學生需對問題中的有效信息進行抽象概括并用自己的語言重組后表達出來，這就鍛煉了學生的抽象概括能力；其次，數學建模能鍛煉學生的分析綜合能力、想象力和洞察力.

2.提高學生的動手動腦能力和實踐能力. 學生在建立數學模型的過程中，需要深挖教材、廣泛研究相關的教輔資料、利用電腦上網查詢相關的信息，很好地培養了學生的動手動腦能力和實踐技能.

3.提高學生的創新精神.數學建模并非一成不變，它有不同的表現形式，解決同一問題時，由于入手點不同，方法不同，最終建立的模式也不盡相同，在創建模式的過程中有利于提高學生的創造力，有利于培養他們的創新精神.

4.培養學生溝通協調能力和團隊合作精神. 在建模過程中，不同思路、不同方法的碰撞，需要學生闡明自己觀點的同時能與其他思想協調一致、共融共通，這就需要學生盡最大努力去與他人協調溝通，在溝通的過程中，相互補充、相互妥協；問題的解決有時不可能憑一人之力，需要學生在小組合作學習中群策群力，這能很好地鍛煉學生的溝通協調能力和團隊合作精神.

二、數學建模在教學中的應用舉例

1.問題提出

汽車司機在行駛過程中發現前方出現突發事件，會緊急剎車，人們把從司機決定剎車到車完全靜止這段時間內汽車行駛的距離，稱為剎車距離.常識告訴我們，車速越快，剎車距離越長.那么，剎車距離與車速之間是正比例函數的關系，還是其他更復雜的關系？表1是一組車速和剎車距離的數據，請建立剎車距離和車速之間的數學模型.

（1）為了直觀起見，我們將車速v與剎車距離d的關系繪制在直角坐標系內.由圖可以看出，車速和剎車距離并非呈正比例關系.下面從機理上分析研究.

（2）剎車距離由反應距離（指司機決定剎車到制動器開始起作用這段時間內汽車行駛的距離）和制動距離（從制動器開始起作用到汽車完全停止所行駛的距離）兩部分組成.

（3）反應距離由反應時間和車速決定，反應時間取決于司機個人狀況和制動系統的靈活性等.對于固定牌子的汽車和同一類型的司機，反應時間可以視為常數，并且在這段時間內車速尚未改變.

（4）制動距離與制動器的作用力、行車速度、汽車自身重量以及天氣、路況等因素有關.制動器是一個能量耗散裝置，制動力做的功被汽車動能的改變所抵消.設計制動器的一個合理原則是，最大制動力大體上與車的質量呈正比，使汽車大致做勻減速運動，司機和乘客少受距離的沖擊.而道路、氣候等因素對一般規則來說只能看做是固定的.

3.模型假設

基于以上分析，做出下列假設： （1）剎車距離d等于反應距離d1和制動距離d2之和； （2）反應距離d1與車速v呈正比，比例系數為反應時間； （3）剎車時使用最大的制動力F，F做的功等于汽車動能的改變，且F與車的質量m成正比.

4.模型建立與求解

由假設（2）有，d1=k1v，k1為反應時間，這個數據可以從交警部門獲得. 由假設（3）知，在F作用下行駛距離d2做的功使車速從v變成0，動能的變化為12mv2，從而有Fd2=12mv2①.又F與m呈正比，按照牛頓第二定律可知，剎車時的加速度a為常數，可得F=ma ②，將②式代入①消去F和m可得d2=v22a，即d2=k2v2，k2=12a.于是得剎車距離d=k1v+k2v2，從而可以看出，剎車距離d和車速v呈二次函數關系.

通過這個數學建模的完整過程實例，讓學生充分了解數學建模的基本思想，同時也讓學生在學習過程中充分參與數學建模的過程，使學生對學習數學產生濃厚的興趣.

（責任編輯黃春香）