巧用數形結合法解答高考題

潘克和

數形結合法是一種重要的數形解題方法，但在歷年高考中，考生在涉及數形結合知識的題目的得分率都比較低.為了使廣大考生對數形結合法有更多的了解，本文結合歷年高考題談談數形結合法在解題中的應用.

一、把數量關系轉換為圓的問題

圓的方程是高中數學的一個重要章節，是從數量方面研究圓的性質，解決這類問題的基礎就是要熟悉圓方程的幾種表現形式.如參數方程：x=a+rcosa，y=b+rsina（表示圓心為（a，b），半徑為r的圓）；標準方程或普通方程的變形：y-b=r2-（x-a）2（表示圓心為（a，b），半徑為r的上半圓）；等等.

解：由圓參數方程易知，點M是以原點（0，0）為圓心，1為半徑的圓上的點，從而問題轉化為判斷直線xa+yb=1與圓x2+y2=1有交點的充要條件問題.根據直線與圓有交點的充要條件是d≤r11a2+1b2≤11a2+1b2≥1，故選D.

二、把數量關系轉化為直線斜率問題

涉及求有關y-bx-a的值時，可把y-bx-a看做是兩點A（x，y）、B（a，b）連線間的斜率，從而把代數問題轉換為幾何圖形問題.

圖2解：kOA=yx可看做是兩點A（x，y）、O（0，0）間連線的斜率，由約束條件“x-y+2≤0，x≥1，x+y-7≤0”作出可行域（如圖2陰影部三、把數量關系轉化為兩點間距離問題

涉及求有關（x-a）2+（y-b）2的值時，可把（x-a）2+（y-b）2看做是兩點A（x，y）、B（a，b）間的距離，從而把代數問題轉換為幾何圖形問題

例5（2006，湖南，12）已知x≥1，x-y+1≤0，2x-y-2≥0，則x2+y2的最小值是.

圖4解：d=x2+y2可看做兩點A（x，y）、O（0，0）間的距離，則x2+y2=d2，當d最小時，d2也取得最小值.由約束條件“x≥1，x-y+1≤0，2x-y-2≥0”作出可行域（如圖4陰影部分），由圖可知可行域內的點A（1，0）與O（1，0）距離最小，所以dmin=1，從而d2min=1.

四、函數圖像的應用

指數和對數函數的圖像及性質是高中數學的一個重要知識點，而高考題往往是以判斷超越方程根的情況的形式出現.解這些題目關鍵是能分離變量，畫出函數的圖像，把代數方程根的問題轉化為圖像的交點問題.

解：由2a=log12a知x=a是方程2x=log12x的根，即函數y=2x的圖像與函數y=log12x的圖像的交點的橫坐標為a.

圖5同理，函數y=（12）x的圖像與函數y=log12x的圖像的交點的橫坐標為b；函數y=（12）x的圖像與函數y=log2x的圖像的交點的橫坐標為c.作圖易得a

以上是結合歷年高考題對考查數形結合方法的考題按考點進行分類，方便學生理解掌握，從而提高學生的數學應用能力.當然，有些復雜函數圖像還需要通過應用導數的知識去判斷函數的性質，才能夠較準確地畫出其圖像，從而結合圖像解決相關問題.

（責任編輯：金鈴）