從高考試題看向量數量積的求解方法

韓艷莉

平面向量的數量積是平面向量的重要內容，與三角函數、解析幾何、平面幾何等章節有密切聯系.在江蘇高考考試說明中是8個C級要求之一，難度比較大.縱觀近幾年的高考試題，數量積的求解方法主要有以下幾種.

一、定義法

圖1評注：平面向量的數量積的定義是a·b=|a||b|cosθ，由此可見，利用定義求向量的數量積關鍵是求出兩個向量的模及其夾角.這里面兩個向量的夾角容易弄錯，切記是通過平移使兩個向量共起點時所形成的[0°，180°]內的角是兩個向量的夾角.

練習：已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，求 AB·BC=.

二、坐標法

圖2[例2]（2012年江蘇高考，9）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF的值是.

分析：圖形中有垂直關系，故想到求數量積用坐標運算.

評注：當兩個向量的模或夾角不好求時而圖形中又有垂直或對稱關系時，雖然題目中沒有坐標系，也可以建立直角坐標系利用數量積的坐標運算來求解.

評注：當圖形中不好建立直角坐標系轉化為坐標法求數量積時，而題目條件集中在某幾個向量上時，可以將目標向量用已知向量線性表示后再求數量積.目標向量用已知向量線性表示時要用到向量加法的三角形法則、平行四邊形法則、向量減法的三角形法則及向量的數乘運算.

圖6練習：（2012年浙江卷）如圖6，在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則AB·AC=.

分析：本題圖形中有直角可以建立直角坐標系，用坐標法求向量的數量積，也可以用線性表示法，但相對來說都比較復雜.本題用投影法就非常簡單.

評注：設a，b是兩個非零向量，| b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影.如下圖所示：

由此可知，a，b的幾何意義是：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.

雖然向量數量積的求解方法很多，拿到具體的問題要根據題目條件選擇合理、恰當的方法，正確、快速地將問題求解出來.

（責任編輯黃春香）