“分割”思想在解答非線性變化物理習(xí)題中的運(yùn)用

尤從業(yè)

新課程理念下，高考物理更加注重物理思想、物理方法的考查，“分割”思想和方法作為一種迅速解決非線性變量問題的有效手段，仍將在高考試題中有所體現(xiàn)。在解決非線性變化的變量問題時，如果能夠掌握好這種解題方法，在很多時候能使復(fù)雜問題大大簡化，給我們解決物理問題帶來事半功倍的效果。“分割”思想和方法，從數(shù)學(xué)上講，其實(shí)是一種微分的思想方法，下面通過一道例題談?wù)劇胺指睢彼枷朐诮鉀Q物理問題中的運(yùn)用。

【案例】如圖甲所示，光滑絕緣水平面上一矩形金屬線圈abcd的質(zhì)量為m、電阻為R、ad邊長度為L，其右側(cè)是有左右邊界的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ab邊長度與有界磁場區(qū)域?qū)挾认嗟取Ｔ趖=0時刻線圈以初速度v0進(jìn)入磁場，在t=T時刻線圈剛好全部進(jìn)入磁場，且速度為v1。此時對線圈施加一沿運(yùn)動方向的變力F，使線圈在t=2T時刻全部離開該磁場區(qū)。若上述過程中線圈的v-t圖像如圖乙所示，整個圖像關(guān)于t=T軸對稱。若線圈的面積為S，請運(yùn)用牛頓第二運(yùn)動定律和電磁學(xué)規(guī)律證明：在線圈進(jìn)入磁場過程中， v0-v1=B2LSmR。

【分析】此題以線圈穿過勻強(qiáng)磁場區(qū)域時，線圈的v-t圖像給出解題信息，以證明的形式綜合考查法拉第電磁感應(yīng)定律、無限分割思想（微元法）、勻變速直線運(yùn)動規(guī)律等。經(jīng)分析在線圈進(jìn)入磁場的過程中，加速度是非線性變化的，不能夠直接運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式處理上述問題。本題采用無限“分割”思想，把時間分成若干等份后，對運(yùn)動過程的極小部分進(jìn)行分析， 在極短時間內(nèi)加速度變化很小，可以近似地認(rèn)為不變，這樣每一等份可看成勻變速運(yùn)動，然后利用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式以及電量的求解方法綜合起來解題，簡化解題過程。

“分割”思想是通過對運(yùn)動過程的極小部分進(jìn)行分析，將變化的過程轉(zhuǎn)化為不變的過程，達(dá)到了 “化變?yōu)楹恪薄ⅰ盎鸀橹薄钡淖饔谩＠纾凇捌胀ǜ咧姓n程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（物理必修1）”中引入瞬時速度的概念時，教材中先從平均速度引入，而平均速度只能粗略地描述運(yùn)動的快慢，為了使運(yùn)動的描述更加精確，教材在處理相關(guān)問題時，采用了無限“分割”思想，把時間無限分割，提出從t到t+Δt這段時間間隔內(nèi)，Δt越小運(yùn)動快慢的描述就越精確。但若Δt趨向于零時，ΔxΔt就可以認(rèn)為是t時刻的瞬時速度。

總之，無限“分割”思想體現(xiàn)了近似逼近的物理思想，是用于解決非線性變化的變量問題的有效途徑。如果物理問題中涉及的是非線性變量，無法用牛頓第二定律等常規(guī)方法求解，但采用無限“分割”思想，可以將所研究的物理過程，分割成許多微小單元，這樣就可以將整個運(yùn)動過程看成是由許多微小的運(yùn)動過程組成的，每一個微小的運(yùn)動過程中物理量的變化非常微小，可以近似認(rèn)為不變，最終將非線性變量變成線性變量，甚至常量。然后，利用相關(guān)的物理規(guī)律求得每一微小運(yùn)動過程中所求的量。

（責(zé)任編輯易志毅）