利用LINGO進行線性規劃問題敏感性分析的報告解讀

錢業洪

摘 要： 線性規劃是生產生活中追求目標最優化的重要手段，LINGO作為解決規劃問題的主要軟件，其作用已延伸到建模、分析等領域，不僅可以簡化計算過程，而且可以為我們進一步研究線性規劃問題各參數、變量之間的內在聯系給出明確的答案。

關鍵詞： LINGO 敏感性分析 報告解讀

線性規劃問題由目標函數及約束條件構成，對一個線性規劃問題的求解往往只限于追求其目標函數的最佳值和相應目標函數中決策變量的最優解。但是在實際應用中，我們需要對影響目標函數值的一系列因素進行研究，我們把這個過程叫做敏感分析。而LINGO軟件是最適合對線性規劃問題做敏感分析的軟件，其中對敏感性分析報告的正確解讀是我們如何把握某一具體線性規劃模型的關鍵。

一、影子價格（對偶價格）的經濟意義

奶制品生產計劃問題：一奶制品加工廠用牛奶生產A■、A■兩種奶制品，1桶牛奶可以在甲車間用12h加工成3kg A■，或者在乙車間用8h加工成4kg A■。根據市場需求，生產出的A■、A■都能售出，且每千克A■獲利24元，每千克A■獲利16元。現在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應，每天正式工人總的勞動時間為480h，并且甲車間的設備每天最多能加工100kg A■，乙車間設備的加工能力可以認為沒有上限限制（即加工能力足夠大）。試為該廠制訂一個生產計劃，使每天獲利最大，并進一步討論以下附加問題：若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小時幾元？

報告解讀：

（一）最優解的解讀

最優解是x■=20，x■=30，最優值為z=3360，即用20桶牛奶生產A■，30桶牛奶生產A■，可獲最大利潤3360元。

（二）影子價格的經濟意義

首先，3個約束條件的右端不妨看做三種“資源”：原料、勞動時間、車間甲的加工能力。輸出中SLACK OR SURPLUS給出這三種資源在最優解下是否有剩余：原料、勞動時間的剩余均為零（即約束為緊約束），車間甲尚余40kg加工能力（不是緊約束）。

其次，目標函數可以看做是“效益”，稱為緊約束的“資源”一旦增加，“效益”必然隨之提高。輸出中DUAL PRICES給出這三種資源在最優解下“資源”增加1個單位時“效益”的增量：原料增加1個單位（1桶牛奶）時，利潤增長48元，勞動時間增加1個單位（1h）時，利潤增長2元，而增加非緊約束車間甲的能力顯然不會使利潤增長。這里“效益”的增量可以看做“資源”的潛在價值，經濟學上稱為“影子價格”（shadow price），即1桶牛奶的影子價格是48元，1h勞動的影子價格是2元，車間甲生產能力的影子價格是0。聘用臨時工人以增加勞動時間，付給的工資低于勞動時間的影子價格才可以增加利潤，所以工資最多是2元/h。

（三）影子價格的進一步探討

現在我們可以提出這樣一個問題：若用35元可以買到1桶牛奶，是否做這項投資？若投資，每天最多購買多少桶牛奶？

根據影子價格的含義，我們馬上可以得出這樣的結論：用35元可以買到1桶牛奶，低于48元1桶的影子價格，當然應該做這項投資。

進一步追問：根據“RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED：”中“allowable increase”的描述，當“MILK原料最多增加10桶”時，是不是仍可保證目標函數是最優值？答案是不確定。

二、目標函數多因素條件改變下的百分百法則

門窗生產計劃：某工廠要生產兩種新產品：門和窗，經測算，每生產一扇門需要在車間1加工1小時、在車間3加工3小時；每生產一扇窗需要在車間2和車間3各加工2小時。而車間1每周可用于生產這兩種新產品的時間為4小時、車間2為12小時、車間3為18小時。已知每扇門的利潤為300元，每扇窗的利潤為500元。而且根據經市場調查得到的這兩種新產品的市場需求狀況可以確定，按當前的定價可確保所有的新產品都能銷售出去。如果門和窗的單位利潤都發生變化，最優解會不會發生變化？對總利潤又會產生怎樣的影響？

當目標函數的兩個系數同時改變的時候，要判斷是否會改變最優解和目標函數值，應通過百分之百法則確定，即如果目標函數系數同時變動，計算出每一系數變動量占該系數允許變動量（允許的增量或允許的減量）的百分比，然后將各個系數的變動百分比相加，如果所得的和不超過100%，則最優解不變；如果超過100%，則不能確定最優解是否改變，只能通過重新規劃求解判斷。

在這里如果我們假定每扇門的利潤增加到450元，而每扇窗的利潤降到400元，那么利用百分之百法則，會有：

每扇門的利潤變化：300→450

占允許增加量的百分比=■×100%=33.33%

每扇窗的利潤變化：500→400

占允許增加量的百分比=■×100%=33.33%

總和=66.7%

因為變動的百分比之和不超過100%，所以可以確定最初的最優解（2，6）沒有改變。

參考文獻：

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