淺析矩陣的應用

丁鈞

摘 要： 矩陣，作為一個大家熟悉的名詞或概念，其產生的時間并不算長，但是它對我們生活的影響卻是如此的深刻，以致我們根本就感覺不到它的存在。本文從矩陣的概念出發，就矩陣的現實應用作介紹。

關鍵詞： 矩陣 概念 應用

美國芝加哥大學Z·Usiskin教授認為數字化時代最基本的知識和技能是數據處理。而矩陣則是現代社會中應用最廣泛的數據處理的方法之一。矩陣與我們的生活、工作息息相關，它時刻影響著我們，但又不易為我們察覺。

一、矩陣——從身邊的例子說起

表1是某公司員工的工資單，為敘述簡便，我們將其工資單項目簡化成6項。

這是一個六維向量，向量的特征就是“有序”。所謂有序，是指每個位置都有特殊意義，不可隨意顛倒。向量的好處是表述簡單，運算簡便。例如我們可以把上述向量表述成下列數組（或數字陣）A=（1200，350，50，260，1300，3160）。

二、密碼編制中的矩陣

利用矩陣可以編制比較復雜的密碼，一般來講，最傳統的密碼編制方法稱為愷撒碼，它是古羅馬大帝愷撒和他的將領通信的一種密碼，對寫信和讀信的人而言都很方便，但外人卻不知道。比如一段明文：I CAME I SAW I CONQUERED（吾臨 吾睹 吾勝——愷撒名言），用愷撒碼就會變成一段密碼：L FDPH L VDZ L FERQTXHUHG。

1.愷撒碼的原理。取該字母的序數加上3后對應的新字母就是密碼，若加上3后超過26（字母一共是26個），那么除以26后得到的余數對應的字母就是密碼。比如正規字母D的序數是4，加上3后序數變為7，7對應的字母是G，所以字母D的愷撒碼就是G。

2.矩陣編碼。在愷撒碼的基礎上利用矩陣運算的特點就可以編制更復雜的密碼，以防被輕易破譯。

三、決策論中的矩陣

決策是為達到預期目的，從所有可供選擇的方案中找出最佳方案的一種擇優行為，不論在政治、經濟、軍事、技術領域，還是在日常生活中，決策貫穿于管理工作的各個環節。決策可分為不確定型、確定型和風險型決策。風險型決策主要分為：最大期望收益決策和最小機會損失決策。

如蛋糕店的進貨。某食品店每天顧客需求100、150、200、250、300只蛋糕的可能性分別為0.2、0.25、0.3、0.15和0.1，每個蛋糕的進貨價為2.5元，銷售價為4元，若當天不能售完，剩下的以每只0.5元的價格處理掉，問該店每天進貨多少只蛋糕為宜（進貨量必須是50的倍數）。

我們假設當天店里進貨量是200只蛋糕，那么根據需求的規律就有五種可能的銷售結果，比如當天實際需求是100只蛋糕，那么利潤為100×（4-2.5）-（200-100）×0.5=100元，以此類推，我們可以把五種需求下，每種進貨選擇的利潤值計算得到該店的收益表。最后根據五種需求的概率分布，利用矩陣乘法計算收益期望值進行比較，選出收益期望最大的一種進貨選擇。

四、對策論中的矩陣——“田忌賽馬”中的策略分析

對策論又叫博弈論或競賽論，英文名叫Game Theory，是研究具有斗爭或競爭性質的數學理論和方法。1985年我國學者張盛開教授首先將“田忌賽馬”的例子用矩陣加以分析和研究，并給出了基于齊王收益的對策矩陣。

1.田忌賽馬。戰國時齊王與其大將田忌賽馬，雙方約定各出上、中、下3個等級的馬各一匹進行比賽，共賽馬3次，每次比賽的勝者贏得敗者一百金。已知在同一等級馬的比賽中，齊王的馬可穩操勝券，但田忌的上、中等級的馬分別可勝齊王的中、下等級的馬。

田忌與齊王在排列賽馬出場順序，各可取下列6種策略之一：

（上，中，下），（中，上，下），（下，中，上），

（上，下，中），（中，下，上），（下，上，中）。

齊王和田忌各有6種策略，如果比賽雙方預先都不知道對方所選的策略，且各人所選的策略的概率都是相等的，都是1/6，那么各人比賽結果的收益都是隨機的，即對策矩陣A沒有鞍點，也就是說對于齊王和田忌都沒有最優純策略。

在隨機對策中，如果雙方都是“聰明人”，則不存在“必贏”的策略，都必須冒風險，因此我們必須把握機會，不犯錯誤，爭取盡量高的期望值。

參考文獻：

[1]陳立，黃立君.物流運籌學[M].北京：北京理工大學出版社，2008：94-99.

[2]謝金星，薛毅.優化建模與Lindo/Lingo軟件[M].北京：清華大學出版社，360-363.

[3]劉銀萍.關于大學數學的創造性思維教學模式的探討[J].大學數學，2003.

[4]龔妙昆.高等數學語言中的時序要素[J].大學數學，2003.

[5]Frank R.Giordano，WillamP.Fox.A First Course in Mathematical Modeling，4th edition[M].Brooks/Cole，Cengage Learning，2009：6.